Esercizio sulla speranza matematica di una variabile aleatoria
Salve a tutti,
vorrei proporre un esercizio in cui mi sono imbattuto: devo calcolare la speranza matematica della variabile aleatoria Y, funzione della variabile aleatoria X:
$ Y=b(1-e^-(aX)) $
dove X è una variabile aleatoria di Poisson, di media mu.
In particolare, mi chiedevo se sia possibile portare la costante "b" fuori dal segno di speranza matematica e considerare la speranza matematica in parentesi come somma di speranze matematiche.
Infine, trovandomi a dover calcolare la speranza matematica di $ e^-(aX) $, non sono riuscito ad andare avanti, in quanto la speranza matematica risulta essere un operatore lineare solo se la Y è una funzione lineare di X.
Ringrazio chi vorrà aiutarmi e mi scuso per la banalità della domanda o gli errori nel mio ragionamento: oltre ad essere nuovo del forum, sono anche neofita della materia.
Grazie ancora.
vorrei proporre un esercizio in cui mi sono imbattuto: devo calcolare la speranza matematica della variabile aleatoria Y, funzione della variabile aleatoria X:
$ Y=b(1-e^-(aX)) $
dove X è una variabile aleatoria di Poisson, di media mu.
In particolare, mi chiedevo se sia possibile portare la costante "b" fuori dal segno di speranza matematica e considerare la speranza matematica in parentesi come somma di speranze matematiche.
Infine, trovandomi a dover calcolare la speranza matematica di $ e^-(aX) $, non sono riuscito ad andare avanti, in quanto la speranza matematica risulta essere un operatore lineare solo se la Y è una funzione lineare di X.
Ringrazio chi vorrà aiutarmi e mi scuso per la banalità della domanda o gli errori nel mio ragionamento: oltre ad essere nuovo del forum, sono anche neofita della materia.
Grazie ancora.
Risposte
Come giustamente dici, la speranza è un operatore lineare. Quindi i passaggi che fai sono giusti. Arrivato al calcolo di $e^{-AX}$ devi procedere per calcolo diretto ovvero hai da risolvere una serie.
Infine se vai sulla pagina wiki della poisson trovi la soluzione della serie sotto la voce funzione generatrice dei momenti (che è proprio definita come il valore atteso di quel esponenziale)
Ciao
Infine se vai sulla pagina wiki della poisson trovi la soluzione della serie sotto la voce funzione generatrice dei momenti (che è proprio definita come il valore atteso di quel esponenziale)
Ciao
Ciao! Innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta.
Volevo chiederti una precisazione: io so che la speranza matematica è un operatore lineare solo se Y è funzione lineare di Y. Mi è stato fatto notare da un collega che il fatto di avere la X all'esponente non mi permette di considerare lineare il legame tra X e Y e che, di conseguenza, i passaggi sono scorretti. Posso chiederti un parere al riguardo?
Scusa la banalità della domanda...io mi trovo d'accordo con il ragionamento che hai proposto, ma vorrei essere sicuro perché questo esercizio mi è capitato all'esame, per cui portarmi il dubbio sino al giorno della correzione mi farebbe passare molte notti insonni!!!
Grazie mille a te e a chiunque vorrà rispondermi.
Volevo chiederti una precisazione: io so che la speranza matematica è un operatore lineare solo se Y è funzione lineare di Y. Mi è stato fatto notare da un collega che il fatto di avere la X all'esponente non mi permette di considerare lineare il legame tra X e Y e che, di conseguenza, i passaggi sono scorretti. Posso chiederti un parere al riguardo?
Scusa la banalità della domanda...io mi trovo d'accordo con il ragionamento che hai proposto, ma vorrei essere sicuro perché questo esercizio mi è capitato all'esame, per cui portarmi il dubbio sino al giorno della correzione mi farebbe passare molte notti insonni!!!
Grazie mille a te e a chiunque vorrà rispondermi.
"claudio_90":
Ciao! Innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta.
Volevo chiederti una precisazione: io so che la speranza matematica è un operatore lineare solo se Y è funzione lineare di Y.
La speranza matematica (anche detto valore atteso, indicato con "E") è lineare nel senso che $EaX+b=aEX+b$. Dunque se Y=f(X), con f(x) funzione lineare, Ef(X)=f(EX).
Nel tuo caso la funzione $f(x)=b(1-e^{-ax})$ é la composizione di due funzioni: $h(x)=e^{-ax}$ e $g(x)=b(1-x)$.
Dunque f(x)=g(h(x)) ed essendo g lineare, hai che $Eb(1-e^{-aX})=b(1-Ee^{-aX})$.
$Ee{-aX}=e{mu e{-a}-mu}$ è la funzione generatrice dei momenti di argomento -a.
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