Esercizio sulla funzione di ripartie e distrib. esponenziale

[Michela901]

Ciao ragazzi, mi sono appena iscritta al forum, tra pochi giorni ho un esame di calcolo delle probabilità e vorrei una mano per capire alcuni concetti che non mi sono chiari. Iniziamo con questo esercizio:

Siano X e Y due numeri aleatori indipendenti aventi entrambi distribuzione esponenziale con
parametri 2 e 3 rispettivamente. Determinare la covarianza cov(X, Y ) e, considerato U = X − Y ,
determinare la probabilità P(U > 0).

Il primo punto l'ho risolto ora resta da determinare la probabilità P(U>0)

Ho pensato di risolverlo così:
Un modo possibile è trovare la densità di probabilità di U, sapendo che quella di X vale 2e^(-2x) mentre quella di Y 3e^(-3x) , se le rispettive variabili sono >0 , altrimenti entrambe valgono 0. E poi mi trovo la probabilità che mi interessa risolvendo l'integrale che va da 0 a +infinito della densità di U.

Però....

Come la ricavo avendo le densità di X e Y e sapendo che U = X - Y ????
C'è qualche relazione particolare?

Un altro modo sarebbe fare la differenza della funzione di ripartizione della U calcolata a + infinito meno quella calcolata a 0.
Però ho lo stesso problema: conoscendo la f di ripartizinoe della X e della Y come calcolo quella di U = X - Y ?



Mi aiutate perfavore?

grazie a tutti!

PS mi scuso in anticipo se avrò violato qualche punto del regolamento ma questo è il mio primo messaggio....

[itpareid]

io comincerei con
$P(U>0)=P(X-Y>0)=P(X>Y)=...$

[Michela901]

"itpareid":io comincerei con
$P(U>0)=P(X-Y>0)=P(X>Y)=...$

ciao grazie per il suggerimento, non ci avevo pensato a risolverlo così... Però non rieco comunque ad arrivare alla soluzione

chi mi aiuta?

[itpareid]

premesso che non sono sicuro che questo sia il procedimento giusto, io continuerei con
$...=P(X>Y)=1-P(X \leq Y)=...$

[Michela901]

Però mi ritrovo sempre al problema iniziale, confrontare le densità nelle due variabili... Non so proprio come calcolare P(X

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[itpareid]

con la definizione, nel senso che devi calcolarti un integrale, anche se ti ripeto che non sono sicuro sia il procedimento giusto

[Michela901]

Capito ma il mio problema è impostare l'integrale. Devo svolgere un integrale doppio dato che ho due variabili? E se si non ho idea di cosa mettere come estremi e se considerare come funzione integranda la differenza delle due funzioni di densità o altro .... Sto andando in confusione!

[itpareid]

io proverei a farmi un grafico delle funzioni

[Michela901]

"itpareid":io proverei a farmi un grafico delle funzioni

Avevo provato anch'io a fare il grafico però le due funzioni hanno un andamento talmente simile che è impossibile dedurre qualcosa osservando semplicemente i due grafici

Ho risolto così:
In pratica siccome X e Y sono indipendenti posso determinare la densità di X Y come prodotto delle densità di X e Y.

Poi per calcolare la probabilità di U calcolo l'integrale doppio della densità X Y sull'insieme definito dalle x-y>0 cioè x>y>0

Risolvendo l'integrale in dx e poi in dy mi ritrovo come risultato 2/5.

Grazie mille itpareid per la tua disponibilità!
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ciaooo