Esercizio sul valore atteso
Spiegare se la seguente affermazione è vera o falsa.
Data una variabile $X$ tale che $E(X)<0$, sia $t!=0$, se $E(e^(tx))=1$, allora necessariamente il valore di t è positivo
Ho provato a risolvere questo esercizio, ma non riesco proprio a riuscirci. Ho provato sia a trovare un controesempio ( ma provando ad esempio a usare particolari distribuzioni uniformi o particolari distribuzioni discrete mi viene sempre $t>0$), sia a ragionare decomponendo $E(e^(tx))$ in $E(1+tx+(t^2x^2)/2)$, ma non riesco a procedere
Qualcuno avrebbe una dritta?
Data una variabile $X$ tale che $E(X)<0$, sia $t!=0$, se $E(e^(tx))=1$, allora necessariamente il valore di t è positivo
Ho provato a risolvere questo esercizio, ma non riesco proprio a riuscirci. Ho provato sia a trovare un controesempio ( ma provando ad esempio a usare particolari distribuzioni uniformi o particolari distribuzioni discrete mi viene sempre $t>0$), sia a ragionare decomponendo $E(e^(tx))$ in $E(1+tx+(t^2x^2)/2)$, ma non riesco a procedere
Qualcuno avrebbe una dritta?
Risposte
Io scriverei $E(X)=-\lambda$ con $\lambda>0$, poi userei la disuguaglianza di Jensen per stimare dal basso $E(e^{tX})$. Fatto questo puoi osservare cosa succede se $t$ fosse negativo.
Grazie mille, chiarissimo
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