Esercizio sul calcolo della probabilità che due squadre si affrontino in un torneo
Salve,
vi scrivo i dati dell'esercizio:
ai quarti di finale di un torneo si affrontano otto squadre di cui 2 italiane. Supponendo che:
1) ai quarti di finale le squadre che si scontrano vengono sorteggiate casualmente
2) la stessa cosa avviene per le squadre che raggiungeranno le semifinali
3) la probabilità di successo di ogni squadra è $1/2$
si vuole calcolare la probabilità che le due squadre italiane si scontrino durante il torneo.
Ecco il mio ragionamento:
Siano $A$ e $B$ le due squadre italiane, consideriamo i seguenti eventi:
$ABQ$=le due squadre si scontrano ai quarti
$ABS$=le due squadre si scontrano in semifinale
$ABF$=le due squadre si scontrano in finale
$ABN$=le due squadre non si scontrano
questi quattro eventi, sono incompatibili, in quanto uno solo di questi può accadere, quindi se
$AB$=le due squadre si scontrano durante il torneo
$P(AB)=P(ABQ)+P(ABS)+P(ABF)$
Cominciamo a calcolare le singole probabilità:
siano $AV$=A supera il turno e $BV$=B supera il turno, con $P(AV \cap BV)=1/4$
$P(ABQ)=\frac{bi(6,2)}{bi(8,2)}=15/28$
$P(ABS)=P(ABS|ABQ^c)P(ABQ^c)=P((ABS|ABQ^c)|(AV \cap BV))P(AV \cap BV)P(ABQ^c)=\frac{1}{bi(4,2)}\cdot 1/4 \cdot (1-15/28)$
$P(ABF)=P(ABF|ABS^c)P(ABS^c)=P((ABF|ABS^c)|(AV \cap BV))P(AV \cap BV)P(ABS^c)$
potete aiutarmi a capire dove sbaglio?
Grazie
P.S. $bi(4,2)$ intendo il binomiale 4 su 2, non funzionava il comando \ binom{}{}
vi scrivo i dati dell'esercizio:
ai quarti di finale di un torneo si affrontano otto squadre di cui 2 italiane. Supponendo che:
1) ai quarti di finale le squadre che si scontrano vengono sorteggiate casualmente
2) la stessa cosa avviene per le squadre che raggiungeranno le semifinali
3) la probabilità di successo di ogni squadra è $1/2$
si vuole calcolare la probabilità che le due squadre italiane si scontrino durante il torneo.
Ecco il mio ragionamento:
Siano $A$ e $B$ le due squadre italiane, consideriamo i seguenti eventi:
$ABQ$=le due squadre si scontrano ai quarti
$ABS$=le due squadre si scontrano in semifinale
$ABF$=le due squadre si scontrano in finale
$ABN$=le due squadre non si scontrano
questi quattro eventi, sono incompatibili, in quanto uno solo di questi può accadere, quindi se
$AB$=le due squadre si scontrano durante il torneo
$P(AB)=P(ABQ)+P(ABS)+P(ABF)$
Cominciamo a calcolare le singole probabilità:
siano $AV$=A supera il turno e $BV$=B supera il turno, con $P(AV \cap BV)=1/4$
$P(ABQ)=\frac{bi(6,2)}{bi(8,2)}=15/28$
$P(ABS)=P(ABS|ABQ^c)P(ABQ^c)=P((ABS|ABQ^c)|(AV \cap BV))P(AV \cap BV)P(ABQ^c)=\frac{1}{bi(4,2)}\cdot 1/4 \cdot (1-15/28)$
$P(ABF)=P(ABF|ABS^c)P(ABS^c)=P((ABF|ABS^c)|(AV \cap BV))P(AV \cap BV)P(ABS^c)$
potete aiutarmi a capire dove sbaglio?
Grazie
P.S. $bi(4,2)$ intendo il binomiale 4 su 2, non funzionava il comando \ binom{}{}
Risposte
"Fabio._94":
1) ai quarti di finale le squadre che si scontrano vengono sorteggiate casualmente
2) la stessa cosa avviene per le squadre che raggiungeranno le semifinali
2) sembra sorprendente. Sei sicuro? Non pensavo funzionasse così nei tornei veri.
"Fabio._94":
$P(ABQ)=\frac{bi(6,2)}{bi(8,2)}=15/28$
Questo sembra un valore inverosimilmente alto.
La mia idea era che ai quarti le possibili coppie di squadre che si possono fronteggiare sono $\bi(8,2)$ perché sono le combinazioni senza ripetizione di otto elementi a 2 a 2, tra queste quelle dove fisso le 2 squadre italiane in un incontro, sono tante quante le combinazioni delle rimanenti sei squadre prese a due a due. È sbagliato il ragionamento?
"Fabio._94":
La mia idea era che ai quarti le possibili coppie di squadre che si possono fronteggiare sono $\bi(8,2)$ perché sono le combinazioni senza ripetizione di otto elementi a 2 a 2, tra queste quelle dove fisso le 2 squadre italiane in un incontro, sono tante quante le combinazioni delle rimanenti sei squadre prese a due a due. È sbagliato il ragionamento?
Direi di sì in quanto $\frac{15}{28}$ non è credibile.
Hai provato a simulare la cosa con un programma, o un dado ad 8 facce?
Che ne dici di $P(ABQ)=\frac{1}{7}$?
oltre agli eventi che hai indicato tu, considera i seguenti
$$E_4 = \textrm{le due squadre sono estratte ai quarti} $$
$$E_2 = \textrm{le due squadre sono estratte alle semifinali} $$
$$P(ABQ) = P(E_4) = \frac{4*\binom{6}{2,2,2} }{\binom{8}{2,2,2,2}} = \frac{1}{7}$$
$$P(ABS) = P(E_4^c)*P(AV)*P(BV)*P(E_2) = \frac{6}{7}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{2}{\binom{4}{2,2}} = \frac{1}{14}$$
$$P(ABF) = P(E_4^c)*P(E_2^c)*P(AV)*P(BV) = \frac{6}{7}*\frac{2}{3}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2} = \frac{1}{28}$$
$$P(\textrm{A e B si scontrano in un incontro diretto}) = P(ABQ) + P(ABS) + P(ABF) = \frac{1}{4}$$
$$E_4 = \textrm{le due squadre sono estratte ai quarti} $$
$$E_2 = \textrm{le due squadre sono estratte alle semifinali} $$
$$P(ABQ) = P(E_4) = \frac{4*\binom{6}{2,2,2} }{\binom{8}{2,2,2,2}} = \frac{1}{7}$$
$$P(ABS) = P(E_4^c)*P(AV)*P(BV)*P(E_2) = \frac{6}{7}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{2}{\binom{4}{2,2}} = \frac{1}{14}$$
$$P(ABF) = P(E_4^c)*P(E_2^c)*P(AV)*P(BV) = \frac{6}{7}*\frac{2}{3}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2} = \frac{1}{28}$$
$$P(\textrm{A e B si scontrano in un incontro diretto}) = P(ABQ) + P(ABS) + P(ABF) = \frac{1}{4}$$
Non saprei perché, potresti spiegarmelo?
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