Esercizio sui vettori aleatori uniformi

[matteom961]

Siano $X,Y,Z$ indipendenti e con distribuzione uniforme in $[0,1]$. Calcolare la probabilità che $X<=Y<=2Z$
Spero di non sparare XXXXXX....
La densità è qua $ 1_{[0,1]^3}dx dy dz$
Quindi $F(X<=Y<=2Z) = F(2Z)- F(X)$
Con
$F(2Z)=F(2Z e
$F(X)=F(X Però mi esce un numero negativo
Cosa ho sbagliato?

[Lo_zio_Tom]

Ciao Matteo,

innanzitutto, per tenere la stanza in ordine preferisco che ad ogni esercizio corrisponda un topic (anche se ciò non è obbligatorio) in quanto così facendo risulta più facile fare ricerche mirate (ci sono migliaia e migliaia di esercizi nella stanza, se in un topic ne mettiamo diversi poi non si capisce più nulla). Per questa volta, dato che non potevi saperlo, ti ho diviso io l'argomento.

Tornando al problema, l''unica cosa che ha in comune questo esercizio con il precedente che hai postato è che entrambi rientrano nel programma di esame che devi fare.....

Questo si risolve semplicemente con la definizione

$P(X
$Omega={(x,y,z) in R^3: x

dato che come hai osservato, $f(x,y,z)=1$ sul cubo $[0;1] xx [0;1] xx[0;1]$

Risolvere quell'integrale non mi sembra opera difficoltosa

ciao

[matteom961]

Scusa per la mia ignoranza sul forum
Comunque per quanto riguarda la dy devo scrivere la somma di due integrali in cui in uno x<=dy<=2z e l'altro 0<=dy<=1?
Scusa se non sto scrivendo bene,ma dal telefono non si trova il dollaro

[Gio23121]

Penso che $x<=dy<=2z$ sia sbagliato,gli estremi dovrebbero essere $0$ ed $1$ nel caso in cui $2z>1$ cioè $z>1/2$ , mentre per $z<1/2$ dovrebbero essere $0$ e $2z$ .

Quindi devi risolvere due integrali e poi sommarli

Primo integrale : $ int_(0)^(1/2) dzint_(0)^(2z} dy int_(0)^(y) dx $
Secondo integrale : $ int_(1/2)^(1) dzint_(0)^(1} dy int_(0)^(y) dx $

[Lo_zio_Tom]

più che corretto.

oppure potresti scegliere diversamente l'ordine di integrazione e quindi non dover spezzare l'integrale né fare questi ragionamenti


$0
integro il piano $x$ ottenendo $int_(0)^(y)dx=y$

ora non mi resta che integrare $y$ sul dominio $D={(y,z) in [0;1] xx [0;1]:0
$int_(0)^(1)ydyint_(y/2)^(1)dz=1/3$

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

[matteom961]

Grazie mille ancora per l'aiuto
Spero solo di capire con tutti gli altri esercizi il meccanismo