Esercizio sui marginali
All' interno di una popolazione , il 15% delle coppie non ha figli, il 20% ha un solo figlio , il 35% ne ha due e il 30% ne ha tre.
Inoltre ogni bambino, indipendentemente puo essere maschio o femmina. Denotando con X e Y rispettivamente il numero di femmine e di maschi, si chiede di calcolare la funzione di massa congiunta tra le due variabili aleatorie, appunto X e Y
Il testo riporta già la tabella. Ad esempio:
P (X = 0 , Y =0) =0.15 , giustamente poichè si cade nel caso delle coppie senza figli.
P (X = 1 , Y =0) = P(1 figlio) * P(1 femmina) =$ 0.2 * 0.5 = 0.1$
P (X = 2 , Y =0) =P(2 figli)* P(1 femmina) * P(1 femmina)= $0.35 * 0.5^2= 0.0875$
P (X = 1 , Y =1) =P(2 figli)
In questo, il secondo figlio nato ha 50% di possibilità di essere maschio o femmina quindi risulta:
P (X = 1 , Y =1) =P(2 figli) * $0.5$ = $0.35 * 0.5 = 0.1750$
Ora però viene il bello:
P (X = 1 , Y =2) Cioè una coppia con tre figli di cui una femmina e tre maschi. Il testo riporta come risultato $0.1125$ Perchè??
Posto $0.3$ la percentuale delle coppie con tre figli. Il primo figlio puo essere maschio o femmina con pari probabilità, quindi moltiplico per $0.5$ gli altri due possono essere dello stesso sesso oppure di sesso opposto anche qui con pari opportunità quindi rimoltiplico per $0.5$ . A me verrebbe $0.075$, ma sicuramente sbaglio la logica.
Qualcuno puo aiutarmi?
Inoltre ogni bambino, indipendentemente puo essere maschio o femmina. Denotando con X e Y rispettivamente il numero di femmine e di maschi, si chiede di calcolare la funzione di massa congiunta tra le due variabili aleatorie, appunto X e Y
Il testo riporta già la tabella. Ad esempio:
P (X = 0 , Y =0) =0.15 , giustamente poichè si cade nel caso delle coppie senza figli.
P (X = 1 , Y =0) = P(1 figlio) * P(1 femmina) =$ 0.2 * 0.5 = 0.1$
P (X = 2 , Y =0) =P(2 figli)* P(1 femmina) * P(1 femmina)= $0.35 * 0.5^2= 0.0875$
P (X = 1 , Y =1) =P(2 figli)
In questo, il secondo figlio nato ha 50% di possibilità di essere maschio o femmina quindi risulta:
P (X = 1 , Y =1) =P(2 figli) * $0.5$ = $0.35 * 0.5 = 0.1750$
Ora però viene il bello:
P (X = 1 , Y =2) Cioè una coppia con tre figli di cui una femmina e tre maschi. Il testo riporta come risultato $0.1125$ Perchè??
Posto $0.3$ la percentuale delle coppie con tre figli. Il primo figlio puo essere maschio o femmina con pari probabilità, quindi moltiplico per $0.5$ gli altri due possono essere dello stesso sesso oppure di sesso opposto anche qui con pari opportunità quindi rimoltiplico per $0.5$ . A me verrebbe $0.075$, ma sicuramente sbaglio la logica.
Qualcuno puo aiutarmi?
Risposte
Grazie, ora tutto è un po piu chiaro. Sto cercando di imparare ad applicare le formule del calcolo combinatorio, ma non ho ancora assunto penso il giusto schema mentale. Come si fa?
Per la parte Formale tu hai applicato il coefficiente binomiale. Hai cioè calcolato la combinazione semplice $C 3,1 (C n,k)$. Questa dà come risultato 3. In effetti vi sono tre possibilità di avere una femmina su tre figli. Stesso risultato si avrebbe in questo caso utilizzando la disposizione semplice $D 3,1 (D n,k)$. Giustamente, poichè in questo caso essendo K=1, cioè il gruppo è formato da un solo elemento, non vi sono possibilità di doppioni cambiando disposizione all' interno del gruppo. Non capisco però l'intera formula \( \displaystyle\binom{3}{1}p^1(1-p)^{3-1}=3\cdot 0.5\cdot 0.5^2=0.375 \)
Posso solo lontanamente intuire perchè moltiplicare per $0.5$ e poi per $0.5^2$ ma comunque non lo capisco.
Mi resterebbe molto piu chiaro dividere per $2^3$. Cioè, divido il numero di possibilità di avere una femmina per il numero totale di combinazioni possibili e trovo la percentuale di probabilità di avere una femmina su tre figli. Dà lo stesso risultato.
Tu però hai ragionato in modo differente. Puoi dirmi qualcosa su questo?
Per la parte Formale tu hai applicato il coefficiente binomiale. Hai cioè calcolato la combinazione semplice $C 3,1 (C n,k)$. Questa dà come risultato 3. In effetti vi sono tre possibilità di avere una femmina su tre figli. Stesso risultato si avrebbe in questo caso utilizzando la disposizione semplice $D 3,1 (D n,k)$. Giustamente, poichè in questo caso essendo K=1, cioè il gruppo è formato da un solo elemento, non vi sono possibilità di doppioni cambiando disposizione all' interno del gruppo. Non capisco però l'intera formula \( \displaystyle\binom{3}{1}p^1(1-p)^{3-1}=3\cdot 0.5\cdot 0.5^2=0.375 \)
Posso solo lontanamente intuire perchè moltiplicare per $0.5$ e poi per $0.5^2$ ma comunque non lo capisco.
Mi resterebbe molto piu chiaro dividere per $2^3$. Cioè, divido il numero di possibilità di avere una femmina per il numero totale di combinazioni possibili e trovo la percentuale di probabilità di avere una femmina su tre figli. Dà lo stesso risultato.
Tu però hai ragionato in modo differente. Puoi dirmi qualcosa su questo?
Non ho ancora studiato la Distribuzione Binomiale. Questo fatto perlomeno mi da un po di sollievo dicendomi che sono ancora all'inizio e giustificando quindi le mie lacune.
Grazie dell' aiuto. Ho già però pronto un'altro post
Grazie dell' aiuto. Ho già però pronto un'altro post
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