Esercizio sugli errori di prima e seconda specie
In un test unilaterale destro, condotto al livello $\alpha$=0.025, si considerano due diversi valori del parametro, $\theta_1'$ e $\theta_1''$, coerenti con l’ipotesi alternativa H1. Condizionatamente a tali valori, la probabilità $\beta$ vale rispettivamente 0.02 e 0.015.
Devo stabilire, se possibile, quale relazione di ordinamento c'è tra $\theta_1'$ e $\theta_1''$.
Ragionamento:
Innanzitutto l'ipotesi alternativa è $H_1:\theta >\theta_1$ ed inoltre, $\theta_1',\ \theta_1''>\theta_1$
Secondo le definizione di errore di seconda specie $\beta$, indicato con $\hat{\theta}$ il valore campionario e con $\hat{\sigma}$ la deviazione standard del parametro stimato, posso scrivere:
1) $\beta$= P(Accettare $H_0$| $H_0$ falsa)= $P(S< S_{test}|H_1:\theta =\theta_1')=0.02$
con
$$S_{test}=\frac{\hat{\theta}-\theta_1'}{\hat{\sigma}}$$
2) $\beta$= P(Accettare $H_0$| $H_0$ falsa)= $P(S< S_{test}|H_1:\theta =\theta_1'')=0.015$
con
$$S_{test}=\frac{\hat{\theta}-\theta_1''}{\hat{\sigma}}$$
Ho dedotto che poichè non conosco $\hat{\theta}$, non posso confrontare $\theta_1'$ e $\theta_1''$. Confermate?
Devo stabilire, se possibile, quale relazione di ordinamento c'è tra $\theta_1'$ e $\theta_1''$.
Ragionamento:
Innanzitutto l'ipotesi alternativa è $H_1:\theta >\theta_1$ ed inoltre, $\theta_1',\ \theta_1''>\theta_1$
Secondo le definizione di errore di seconda specie $\beta$, indicato con $\hat{\theta}$ il valore campionario e con $\hat{\sigma}$ la deviazione standard del parametro stimato, posso scrivere:
1) $\beta$= P(Accettare $H_0$| $H_0$ falsa)= $P(S< S_{test}|H_1:\theta =\theta_1')=0.02$
con
$$S_{test}=\frac{\hat{\theta}-\theta_1'}{\hat{\sigma}}$$
2) $\beta$= P(Accettare $H_0$| $H_0$ falsa)= $P(S< S_{test}|H_1:\theta =\theta_1'')=0.015$
con
$$S_{test}=\frac{\hat{\theta}-\theta_1''}{\hat{\sigma}}$$
Ho dedotto che poichè non conosco $\hat{\theta}$, non posso confrontare $\theta_1'$ e $\theta_1''$. Confermate?
Risposte
Basta restringere l'esempio a qualunque Test non Distorto (e non solo al test cui tu fai riferimento) ed immediatamente si evince che $theta_1''>theta_1'$, entrambi $in Theta_1$
Infatti $beta$ è il complemento della potenza del test $pi(theta)$ che aumenta all'aumentare del divario fra $theta_0$ e $theta_1$....quindi più $theta in Theta_1$ si allontana[nota]aumenta in questo caso, dato che il test è unilaterale destro e quindi necessariamente $theta_1>theta_0 AA theta_1 in Theta_1$[/nota] dal $Sup_(theta in Theta_0)pi(theta)$ più la potenza aumenta $rarr$ più $beta$ diminuisce. In altri termini il valore di $theta_1 in Theta_1$ con un errore di secondo tipo più basso è il più alto rispetto al valore di soglia di $Theta_0$
Il valore di $alpha$ non ha alcuna influenza ai fini dell'esercizio, dato che $gamma$ e $beta$ sono calcolati condizionatamente a $theta=theta_1$ mentre $alpha$, errore di prima specie, è calcolato condizionatamente a $theta_0$. Basta che $alpha$ sia fissato in modo da determinare univocamente la regola di decisione.
Per spiegarti meglio il problema, dato che mi pare un quesito interessante, ti propongo il seguente problema
Sia $X_1$ una campione casuale con $n=1$ estratto dalla popolazione con la seguente densità
$f_X(x,theta)=thetax^(theta-1)I_((0;1))(x)$, $theta>0$
si vuole provare il seguente sistema di ipotesi unilaterale
${{: ( mathcal(H)_0: theta<=1 ),( mathcal(H)_1: theta>1 ) :}$
supponiamo che la regione critica sia la seguente: Rifiutiamo $mathcal(H)_0$ se e solo se $X_1>1/2$
Calcolare i valori del parametro $theta in Theta_1$ tali per cui
$beta(theta_1)=0.2$
$beta(theta_2)=0.1$
Ti accorgerai facilmente che $theta_2>theta_1$
Inoltre: la densità proposta è una distribuzione nota: Quale?
Adesso mi è chiaro!
Non saprei...Forse è una densità che non ho mai incontrato.
"tommik":
Inoltre: la densità proposta è una distribuzione nota: Quale?
Non saprei...Forse è una densità che non ho mai incontrato.
E' una $"Beta"(theta;1)$
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