Esercizio su v.c. normale multivariata

[sabgarg]

Vi propongo un esercizio, con relativo svolgimento per capire se ogni passaggio è corretto. Ringrazio a priori che vorrà rispondermi

Sia $ X ~ N (mu,Sigma) $ una normale multivariata con:

$ mu=( ( 0.5 ),( 1.25 ),( 5 ) ) $

$ Sigma = [ ( 0.05 , 0.02 , 0.01 ),( 0.02 , 0.10 , 0.01 ),( 0.01 , 0.01 , 0.40 ) ] $

1) Derivare la distribuzione della v.c. marginale $ f(x_1,x_2) $

$ f(x_1,x_2) ~ N(mu,Sigma) $ le cui componenti saranno


$ mu=( ( 0.5 ),( 1.25 ) ) $


$ Sigma = [ ( 0.05 , 0.02 ),( 0.02 , 0.10 ) ] $


2) Derivare la distribuzione della v.c. condizionata $ f(x_1,x_2|x_3) $

Per la teoria sappiamo che $ f(x_1,x_2|x_3) ~ N(mu,Sigma) $

Stavolta le componenti saranno:

$ mu= ( ( 0.5 ),( 1.25 ) ) + ( ( 0.01 ),( 0.01 ) )*(1/0.40)*(x_3-5) $

$ Sigma = [ ( 0.05 , 0.02 ),( 0.02 , 0.10 ) ]-( ( 0.01 ),( 0.01 ) )*(1/0.40) ( 0.01 \ \ 0.01 ) $


Spero di aver fatto tutto correttamente. Grazie dell'aiuto

[Lo_zio_Tom]

Sì tutto bene... hai applicato passo-passo i teoremi studiati, non è che ci sia molto da ragionare sull'esercizio.

Giusto per rendere fruibile a tutti il topic mi limito a riportare le formule generali sui parametri della gaussiana condizionata

$mathbb(E)[X_A|X_B=x_B]=mu_A+Sigma_(AB) Sigma_(BB)^(-1)(x_B-mu_B)$

$mathbb(V)[X_A|X_B=x_B]=Sigma_(A A)-Sigma_(AB)Sigma_(BB)^(-1)Sigma_(AB)^(T)$

Dove

$Sigma_(A A),Sigma_(BB),Sigma_(AB)$

sono i blocchi delle sottomatrici di $Sigma$