Esercizio su Variabili Geometriche

[LS005]

Salve ragazzi,
Sto risolvendo questo esercizio sulle variabili geometriche:

Un dado viene lanciato ripetutamente e si indica con l'istante T1 l'istante di primo 6 e con S1 l'istante di primo 5.
Calcolare la $P( T1 + S1 = 4 )$

Supponendo che, se T1 + S1 deve essere uguale a 4, allora significa che T1 = 3 e S1 = 1 oppure T1 = 1 e S1 = 3.
Quindi nel calcolo della probabilità ottengo:
$P(({T1 = 1} nn {S1 = 3}) uu ({T1 = 3} nn {S1 = 1}))$
Anzitutto è corretto? Perchè Il mio dubbio riguarda il fatto che essendo T1 e S1 eventi non indipendenti quando ne calcolo l'unione poi ottengo: $P(({T1 = 1} nn {S1 = 3}) uu ({T1 = 3} nn {S1 = 1})) = $
$P({T1 = 1} nn {S1 = 3}) + P({T1 = 3} nn {S1 = 1}) - P(({T1 = 1} nn {S1 = 3}) nn ({T1 = 3} nn {S1 = 1}))$ (dalla definizione di probabilità) come calcolo l'intersezione?
Grazie

[fu^2]

sarà sera tardi, ma quell'intersezione non è vuota? (e quindi probabilità zero)
se $S_1(\omega)$ non può valere simultaneamente 3 e 1, o sbaglio?...

[LS005]

In effetti si. Quindi otterrei $ P({T1 = 1} nn {S1 = 3}) + P({T1 = 3} nn {S1 = 1}) = p^2 * (p - 1)^2 + p^2 * (p-1)^2 $ ? (Con p parametro delle due geometriche)

[LS005]

Poi l'esercizio richiede anche: di che tipo è la variabile $ Z = min {T1, S1} $ ? Per me è una geometrica, essendo sia T1 che S1 geometriche. Visto che anche l'immagine di Z è $ Im(Z) = {1,2,...} $ è corretto?

[fu^2]

la motivazione che ti dai non è sufficiente, dal momento che ci sono innumerevoli v.a. che hanno per immagine i naturali.

In questo caso perso si possano fare i calcoli senza troppi problemi, ovvero calcolare $P(Z<=t)$ e vedere cosa ti esce, usando le proprietà trovate prima.

[LS005]

Che intendi per $P({Z <= t})$ ?

[fu^2]

funzione di ripartizione.
Dal momento che quello che ti viene fuori sarà una v.a. discreta puoi anche calcolare, analogamente, $P(Z=k)$.

[LS005]

Ho capito. E quindi ottenere la "formula" della funzione e capire di che tipo è giusto?

[fu^2]

esatto, o comunque se non è una distribuzione nota la sua funzione di ripartizone la descrive completamente.