Esercizio su Variabili Discrete

[LS005]

Ciao ragazzi ho provato a risolvere questo esercizio sul calcolo delle probabilità:
Siano
X = { n° esiti pari in 4 lanci} e
Y = min {X, 4 - X}

Calcolare:
$E[X] $ e $Var(Y)$ e
$P(X <= 1 | Y = 1) e E[X*Y]$

Così:

Allora partendo dal fatto che $Im(X) = {0, 1, 2, 3, 4}$ e $Y = {0, 1, 2}$ ho creato una variabile binomiale X così definita: $ X ~ B(4, 1/6) $ , dove ciascuna variabile (Xk) facente parte la binomiale è una bernulliana con ciascuna immagine pari a $ Im(Xk) = {0, 1} $ (con 0 se non è pari e 1 se è pari).
Ho calcolato la funzione di probabilità di X usando la formula della funzione di probabilità di una binomiale e ho ottenuto i valori:
$ P(X = 0) = 0.48$
$P(X = 1) = 0.37$
$P(X = 2) = 0.11$
$P(X = 3) = 0.01$
$P(X = 4) = 0.0007 $
Sperando che questo sia giusto
Poi ho provato a calcolare: $ P(X <= 1 | Y =1) $ usando la formula della probabilità condizionata:
$ P(X <= 1 | Y =1) = (P({X<=1} nn {Y=1}))/(P(Y=1)) $ che è uguale a $ (P(({X=1} uu{X = 0}) nn ({X=1} uu {X=3})))/(P(Y=1)) $ che è ugale a $ (P({X=1}))/(P(Y=1)) $
Tutto questo è giusto?
E non so come calcolare $E[X*Y]$ essendo le due variabili non indipendenti.
Grazie

[LS005]

Si scusami riguarda il lancio di un dado E bisogna calcolare $ E[Y] $ e non $ E[X] $ come ho scritto! Scusami per la svista!
In ogni caso grazie per la correzione ma mi resta il dubbio su come calcolare $ E[XY] $ essendo non indipendenti...

[LS005]

Grazie per la risposta! Ma è possibile sostituire ad Y $ min{X, 4-X} $ e considerare $ E[X*min{X, 4-X}] $ e quindi considerare il tutto come $ E[f(X)] $ ?