Esercizio su variabili casuali normali indipendenti
Salve a tutti. Sono alle prese con due esercizio, probabilmente banale, ma che non so esattamente come risolvere.
Per quanto riguarda il primo esercizio, ho considerato $\P(\Y > 1 \cup \X < 3)$ come la probabilità di due eventi compatibili. Ho cercato quindi di risolvere in questo modo:
$\P(\frac{\Y-\mu}{\sigma} > \frac{1-2}{3}) \cup \P(\frac{\X-\mu}{\sigma} > \frac{3-3}{2}) = \P(\Z > -0.33) \cup \P(\Z < 0) =
\P(\Z > -0.33) + \P(\Z < 0) - [\P(\Z > -0.33) * \P(\Z < 0)]$
E' completamente sbagliato? Non saprei invece come fare con il secondo esercizio, visto che si si tratta di una chi quadrato.
Grazie mille a chi mi darà una mano.
I. Siano $X ~ \mathcal{N}(3, 4)$ e $Y ~ \mathcal{N}(2, 9)$ due variabili casuali indipendenti. Calcolare la probabilità $\P(\Y > 1 \cup \X < 3)$.
II. Siano $X ~ \mathcal{N}(3; 4)$ e $Y ~ \chi^2(9)$ due variabili casuali indipendenti. Calcolare la probabilità $\P(\Y < 0 \cap \X < 3)$.
Per quanto riguarda il primo esercizio, ho considerato $\P(\Y > 1 \cup \X < 3)$ come la probabilità di due eventi compatibili. Ho cercato quindi di risolvere in questo modo:
$\P(\frac{\Y-\mu}{\sigma} > \frac{1-2}{3}) \cup \P(\frac{\X-\mu}{\sigma} > \frac{3-3}{2}) = \P(\Z > -0.33) \cup \P(\Z < 0) =
\P(\Z > -0.33) + \P(\Z < 0) - [\P(\Z > -0.33) * \P(\Z < 0)]$
E' completamente sbagliato? Non saprei invece come fare con il secondo esercizio, visto che si si tratta di una chi quadrato.
Grazie mille a chi mi darà una mano.
Risposte
Innanzitutto ti ringrazio, Sergio, per la risposta.
Sì, le probabilità nel primo esercizio le calcolerò ora. Volevo prima però essere certo del procedimento. Grazie anche per la dritta sulla notazione.
Effettivamente l'ora tarda non mi aveva fatto notare che $\P(\Y < 0)$ dovrebbe essere $0$ in quanto la v.c. $\chi^2$ è definita nell'intervallo $(0;+\infty)$. Considerando che ho a che fare con una intersezione, anche $\P(\Y < 0 \cap \X < 3)$ è = $0$. Corretto?
Sì, le probabilità nel primo esercizio le calcolerò ora. Volevo prima però essere certo del procedimento. Grazie anche per la dritta sulla notazione.
"Sergio":
In questo caso, però, prova a rispondere a una domanda: se \(Y\sim\chi^2(9)\), qual è il supporto di \(Y\)?
Effettivamente l'ora tarda non mi aveva fatto notare che $\P(\Y < 0)$ dovrebbe essere $0$ in quanto la v.c. $\chi^2$ è definita nell'intervallo $(0;+\infty)$. Considerando che ho a che fare con una intersezione, anche $\P(\Y < 0 \cap \X < 3)$ è = $0$. Corretto?
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