Esercizio su variabili aleatorie con densità esponenziale
Sia $X$ una variabile aleatoria reale con legge diffusa. Dimostrare che se per ogni coppia di numeri reali e positivi vale che $P{X>x+y| X>x}=P{X>y}$ allora $X$ ha densità esponenziale.
Risposte
Quella condizione la puoi riscrivere come
[tex]P(X>x+y)=P(X>x)P(X>y),[/tex]
e, iterando il ragionamento, anche come
[tex]P(X>x)=P(X>1)^x \quad x \in \mathbb{R}^+.[/tex]
A questo punto basta prendere [tex]\lambda=-\log P(X>1)[/tex] e dovresti concludere.
[tex]P(X>x+y)=P(X>x)P(X>y),[/tex]
e, iterando il ragionamento, anche come
[tex]P(X>x)=P(X>1)^x \quad x \in \mathbb{R}^+.[/tex]
A questo punto basta prendere [tex]\lambda=-\log P(X>1)[/tex] e dovresti concludere.
aaahh...sei furbo! tra l'altro ci avevo messo un po' a capire perchè l'ipotesi
[tex]P(X>x+y)=P(X>x)P(X>y),[/tex]
implicasse
[tex]P(X>x)=P(X>1)^x \quad x \in \mathbb{R}^+[/tex]. e non [tex]\quad x \in \mathbb{N}^+[/tex]....
comunque io avevo iniziato a pensare in questo modo: [tex]P(X>2x)=(P(x2x))^2[/tex] e poi ho provato a sviluppare i conti e ricavare $P(X>2x)$ in funzione del resto per vedere se mi usciva qualche condizione ma non mi usciva niente di interessante...
[tex]P(X>x+y)=P(X>x)P(X>y),[/tex]
implicasse
[tex]P(X>x)=P(X>1)^x \quad x \in \mathbb{R}^+[/tex]. e non [tex]\quad x \in \mathbb{N}^+[/tex]....
comunque io avevo iniziato a pensare in questo modo: [tex]P(X>2x)=(P(x
Io ho ragionato nel modo seguente:
Bisogna provare la tesi che la densità di probabilità $f_x(x)=c*e^{-c*x} \text{ con } x>=0$.
Partiamo quindi con il calcolare la funzione di distribuzione $F_x(y)=P[X=y]$.
Dalle ipotesi otteniamo:
$F_x(y)=1-P[X>x+y | X>x]=1-(P[X>x+y])/(P[X>x])$.
Per ottenere la densità di probabilità deriviamo ambo i membri:
$(del F_x(y))/(del y)=-1/(P[X>x])^2 (P[X>x]*(del P[X>x+y])/(del y) - P[X>x+y]*(del P[X>x])/(del y))$
da cui:
$f_x(y)=(f_x(x+y ))/ (P[X>x])=(f_x(x+y))/(int_x^{+oo} f_x(x) dx)$
cioè:
$int_x^{+oo} f_x(x) dx = (f_x(x+y))/(f_x(y))$ e derivando secondo "x" si ottiene:
$-f_x(x)=1/( f_x(y)) * (del f_x(x+y))/(del x)$
dalle ipotesi si sa che $P[X>x+y]=P[X>x]*P[X>y] => f_x(x+y)=f_x(x)*f_x(y)$, quindi:
$-f_x(x)= (del f_x(x))/(del x)$
Risolvendo la semplice equazione differenziale si ottiene il risultato desiderato
Bisogna provare la tesi che la densità di probabilità $f_x(x)=c*e^{-c*x} \text{ con } x>=0$.
Partiamo quindi con il calcolare la funzione di distribuzione $F_x(y)=P[X
Dalle ipotesi otteniamo:
$F_x(y)=1-P[X>x+y | X>x]=1-(P[X>x+y])/(P[X>x])$.
Per ottenere la densità di probabilità deriviamo ambo i membri:
$(del F_x(y))/(del y)=-1/(P[X>x])^2 (P[X>x]*(del P[X>x+y])/(del y) - P[X>x+y]*(del P[X>x])/(del y))$
da cui:
$f_x(y)=(f_x(x+y ))/ (P[X>x])=(f_x(x+y))/(int_x^{+oo} f_x(x) dx)$
cioè:
$int_x^{+oo} f_x(x) dx = (f_x(x+y))/(f_x(y))$ e derivando secondo "x" si ottiene:
$-f_x(x)=1/( f_x(y)) * (del f_x(x+y))/(del x)$
dalle ipotesi si sa che $P[X>x+y]=P[X>x]*P[X>y] => f_x(x+y)=f_x(x)*f_x(y)$, quindi:
$-f_x(x)= (del f_x(x))/(del x)$
Risolvendo la semplice equazione differenziale si ottiene il risultato desiderato
l'unico passaggio che mi sfugge è questo:
questa implicazione non mi torna molto...
"clrscr":
Io ho ragionato nel modo seguente:
dalle ipotesi si sa che $P[X>x+y]=P[X>x]*P[X>y] => f_x(x+y)=f_x(x)*f_x(y)$
questa implicazione non mi torna molto...
Non ho seguito la tua dimostrazione però alla fine arrivi a
$y'=-y$ mentre invece l'equazione che soddisfa l'esponenziale è $cy'=-y$.
$y'=-y$ mentre invece l'equazione che soddisfa l'esponenziale è $cy'=-y$.
Ho modificato nel seguente modo:
Bisogna provare la tesi che la densità di probabilità $f_x(x)=c*e^{-c*x} \text{ con } x>=0$.
Partiamo quindi con il calcolare la funzione di distribuzione $F_x(y)=P[X=y]$.
Dalle ipotesi otteniamo:
$F_x(y)=1-P[X>x+y | X>x]=1-(P[X>x+y])/(P[X>x])$.
Per ottenere la densità di probabilità deriviamo ambo i membri:
$(del F_x(y))/(del y)=-1/(P[X>x])^2 (P[X>x]*(del P[X>x+y])/(del y) - P[X>x+y]*(del P[X>x])/(del y))$
da cui:
$f_x(y)=-1/(int_x^(+oo) f_x(x) dx ) * (del int_(x+y)^(+oo) f_x(x) dx)/(del y)$
cioè:
$int_x^{+oo} f_x(x) dx f_x(y) = - (del int_(x+y)^(+oo) f_x(x) dx)/(del y)$ e derivando secondo "x" si ottiene:
$- f_x(x) * f_x(y) = (del f_x(x+y))/(del x)$
l'unica funzione che soddisfa tale equazione è proprio la distribuzione esponenziale.
Da cui la conclusione.
Potrebbe andare?
Bisogna provare la tesi che la densità di probabilità $f_x(x)=c*e^{-c*x} \text{ con } x>=0$.
Partiamo quindi con il calcolare la funzione di distribuzione $F_x(y)=P[X
Dalle ipotesi otteniamo:
$F_x(y)=1-P[X>x+y | X>x]=1-(P[X>x+y])/(P[X>x])$.
Per ottenere la densità di probabilità deriviamo ambo i membri:
$(del F_x(y))/(del y)=-1/(P[X>x])^2 (P[X>x]*(del P[X>x+y])/(del y) - P[X>x+y]*(del P[X>x])/(del y))$
da cui:
$f_x(y)=-1/(int_x^(+oo) f_x(x) dx ) * (del int_(x+y)^(+oo) f_x(x) dx)/(del y)$
cioè:
$int_x^{+oo} f_x(x) dx f_x(y) = - (del int_(x+y)^(+oo) f_x(x) dx)/(del y)$ e derivando secondo "x" si ottiene:
$- f_x(x) * f_x(y) = (del f_x(x+y))/(del x)$
l'unica funzione che soddisfa tale equazione è proprio la distribuzione esponenziale.
Da cui la conclusione.
Potrebbe andare?
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