Esercizio su variabili aleatorie!
Vi prego ragazzi aiutatemi, è un ora che provo a risolverlo ma non ci riesco proprio: 
Si lancia due volte un dado equilibrato: sia X il numero uscito la prima volta e Y quello uscito la seconda volta.
Posto U = X + Y, V = X - Y :
a) Calcolare, al variare di x, P( U=x | V=0);
b) Le v.a. U e V sono indipendenti?
c) Calcolare la covarianza Cov(U,V)
Se non è chiedere troppo vi pregherei anche di spiegare come fate in modo che io possa capire.
Grazie
Si lancia due volte un dado equilibrato: sia X il numero uscito la prima volta e Y quello uscito la seconda volta.
Posto U = X + Y, V = X - Y :
a) Calcolare, al variare di x, P( U=x | V=0);
b) Le v.a. U e V sono indipendenti?
c) Calcolare la covarianza Cov(U,V)
Se non è chiedere troppo vi pregherei anche di spiegare come fate in modo che io possa capire.
Grazie
Risposte
Prova a proporre un tentativo di risoluzione; anche se sbagliato è un buon punto di partenza per discutere e aiutarti.
ok, ma non sono perniente sicuro di quello a cui sono arrivato:
a) P(U=x|V=0) = P(X+Y=x|X=Y) le possibili coppie uguali sono (1,1),(2,2)...(6,6) quindi x sarà 2,4,6,8,10,12.
$ P(X+Y=2h|X=Y) = P(X=h nn Y=h) = 6/36 = 1/6 $
b) faccui un controesempio P(U=12|V=2)=0
ma P(U=12)=1/36 e P(V=2)=P(X-Y=2)=coppie (6,4)(5,3)(4,2)(3,1)= 4/36... P(U=12)*P(V=2) è diverso da 0 quindi non sono
indipendenti.
c) Cov(U,V) = E[U*V]-EE[V] = E[U*V]-(E[X]+E[Y])*(E[X]-E[Y]) ma essendo E[X]=E[Y]
Cov(U,V) = E[U*V] = E[(X+Y)*(X-Y)] = E[X^2 - Y^2] = E[X^2]-E[Y^2] = 0.
Sono abbastanza sicuro solo sul punto b. Il punto a, ci sono arrivato con il raggionamento e non ho adottato nessun metodo
di svolgimento. Il punto c non mi convince per niente...
a) P(U=x|V=0) = P(X+Y=x|X=Y) le possibili coppie uguali sono (1,1),(2,2)...(6,6) quindi x sarà 2,4,6,8,10,12.
$ P(X+Y=2h|X=Y) = P(X=h nn Y=h) = 6/36 = 1/6 $
b) faccui un controesempio P(U=12|V=2)=0
ma P(U=12)=1/36 e P(V=2)=P(X-Y=2)=coppie (6,4)(5,3)(4,2)(3,1)= 4/36... P(U=12)*P(V=2) è diverso da 0 quindi non sono
indipendenti.
c) Cov(U,V) = E[U*V]-EE[V] = E[U*V]-(E[X]+E[Y])*(E[X]-E[Y]) ma essendo E[X]=E[Y]
Cov(U,V) = E[U*V] = E[(X+Y)*(X-Y)] = E[X^2 - Y^2] = E[X^2]-E[Y^2] = 0.
Sono abbastanza sicuro solo sul punto b. Il punto a, ci sono arrivato con il raggionamento e non ho adottato nessun metodo
di svolgimento. Il punto c non mi convince per niente...
Ciao, mi sembra che sia tutto corretto.
Per il punto a) quindi si può concludere che $P(U=x|V=0)={(1/6,"se" \ x in {2,4,6,8,10,12}),(0,"altrove"):}
Per il punto b) volevi mostrare che: $P(U=12 nnn V=2)neP(U=12)*P(V=2)$ oppure che $P(U=12|V=2) ne P(U=12)$ ?
Per il punto c) avevo fatto esattamente gli stessi passaggi. Non ti deve sorprendere che, pur essendo $U$ e $V$ dipendenti, la loro covarianza sia nulla. La covarianza è una misura di dipendenza "lineare". L'assenza di dipendenza lineare non esclude possa esserci qualche altra forma di dipendenza.
Per il punto a) quindi si può concludere che $P(U=x|V=0)={(1/6,"se" \ x in {2,4,6,8,10,12}),(0,"altrove"):}
Per il punto b) volevi mostrare che: $P(U=12 nnn V=2)neP(U=12)*P(V=2)$ oppure che $P(U=12|V=2) ne P(U=12)$ ?
Per il punto c) avevo fatto esattamente gli stessi passaggi. Non ti deve sorprendere che, pur essendo $U$ e $V$ dipendenti, la loro covarianza sia nulla. La covarianza è una misura di dipendenza "lineare". L'assenza di dipendenza lineare non esclude possa esserci qualche altra forma di dipendenza.
ok grazie, il fatto che anche tu sei arrivato alle mie stesse conclusioni mi rincuora.
Si al punto b ho dimostrato che $ P(U = 12 nn V = 2) != P(U = 12)*P(V = 2) $
è vero avevo letto che se la covarianza è 0 cmq potrebbe esserci dipendenza tra le due variabili.
Grazie mille per il tuo aiuto Cenzo.
Si al punto b ho dimostrato che $ P(U = 12 nn V = 2) != P(U = 12)*P(V = 2) $
è vero avevo letto che se la covarianza è 0 cmq potrebbe esserci dipendenza tra le due variabili.
Grazie mille per il tuo aiuto Cenzo.
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