Esercizio su variabili aleatorie

[Ccipo1998]

Ciao a tutti, vorrei una mano per risolvere questo esercizio:
In uno schema di Bernoulli con probabilità di testa p in (0,1) sia X la variabile aleatoria che conta il numero di risultati consecutivi uguali al primo; ovvero X = 1 se il primo lancio è testa e il secondo croce oppure il primo croce ed il secondo testa, X = 2 se due teste e poi una croce oppure due croci e poi una testa,... Calcolare la distribuzione di X, il suo valore atteso e la varianza.
Io avevo pensato per la distribuzione di applicare la geometrica per calcolare il numero di lanci da fare prima di incontrare un risultato diverso dal primo, che quindi corrisponde ai risultati uguali consecutivi, ma dovrei fare ogni volta sia il caso in cui il primo risultato è testa sia il caso in cui è croce. Purtroppo sono esercizi proposti dal professore, quindi non ho neanche la soluzione. Grazie

[Lo_zio_Tom]

$mathbb{P}[X=x]=p^xq+q^xp$; $x=1,2,.....$

Controlliamo che sia una valida pmf:

$sum_(x=1)^(oo)p^xq+sum_(x=1)^(oo)q^xp=q p/(1-p)+p q/(1-q)=p+q=1$

ancora meglio, vediamo che la pmf può essere scritta così:

$mathbb{P}[X=x]=pxxp^(x-1)q+qxxq^(x-1)p$

da cui si vede bene che la pmf è una mixture (una combinazione lineare) di due pmf geometriche di parametri $q$ e $p$ con pesi $p$ e $q$, rispettivamente.

Calcoliamo la media:

$mathbb{E}[X]=sum_(x=1)^(oo)xp^xq+sum_(x=1)^(oo)xq^xp=pq sum_(x=1)^(oo)xp^(x-1)+pqsum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)=p/q+q/p$

Per la varianza più o meno lo stesso ragionamento.....vedi un po' se riesci altrimenti ti mostro come fare.

EDIT: ho modificato la risposta perché, in origine, avevo frettolosamente letto $p=1/2$ invece di $p in (0;1)$

[Ccipo1998]

"tommik":Si vede subito che la distribuzione è una geometrica di parametro $1/2$ con $x in {1,2,3,...}$

Se proprio non lo vedi ecco come dimostrarlo

$mathbb{P}[X=x]=(1/2)^x1/2+(1/2)^x1/2=(1/2)^x=(1/2)^(x-1)1/2$

Esempio:

$mathbb{P}[X=3]$ significa ottenere le seguenti possibili stringhe di risultati

- $1110$
- $0001$

dove ho indicato $1="Testa"$ e $0="Croce"$

Come vedi la probabilità è proprio $1/2^4+1/2^4=1/2^3=(1/2)^(3-1)1/2$

Hai la distribuzione e quindi media e varianza sono note... dovresti sapere come si calcolano e anche come lo si dimostra.

Se il professore non ti ha fatto vedere molti esercizi, sul forum ce ne sono MIGLIAIA.....tutti risolti e commentati, almeno 3-4000 da me.


Edit: azz....nella fretta ho letto male ed ho messo $p=1/2$ mentre è $p in (0;1)$...devo correggere tutto o fai tu?

(è davvero molto semplice passare al caso generale....)

Ok, non c'è bisogno che riscrivi tutto, credo di aver afferrato. Come ho scritto nella domanda iniziale avevo pensato che la distribuzione richiesta fosse geometrica, ma non ero riuscito ad applicarlo poi nel concreto. Grazie!

[Lo_zio_Tom]

mi sono anche divertito a fare i conti, così li puoi controllare con i tuoi.

$mathbb{E}[X]=p/q+q/p$

$mathbb{V}[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]=(p/q)^2+(q/p)^2+p/q+q/p-2$

non che sia richiesto ma, entrambi gli indicatori della distribuzione, media e varianza, sono minimi per $p=q=1/2$