Esercizio su variabile casuale
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe aiutarmi col seguente esercizio ?
Non ho la più pallida idea di come applicare i concetti della teoria alla pratica.
Sia X una variabile casuale con la seguente funzione di densità
$f(x)={(ke^(-2\lambdax),if x<=0),(0,text{ in caso contrario)}}$
(non sono riuscito ad andare a capo e fare la graffa su due righe, cmq si tratta di un sistema.
Devo trovare
1) il valore di k (in base a cosa ? il valore di k che rende la funzione integrabile ?)
2) la funzione di distribuzione di x
vi ringrazio
qualcuno potrebbe aiutarmi col seguente esercizio ?
Non ho la più pallida idea di come applicare i concetti della teoria alla pratica.
Sia X una variabile casuale con la seguente funzione di densità
$f(x)={(ke^(-2\lambdax),if x<=0),(0,text{ in caso contrario)}}$
(non sono riuscito ad andare a capo e fare la graffa su due righe, cmq si tratta di un sistema.
Devo trovare
1) il valore di k (in base a cosa ? il valore di k che rende la funzione integrabile ?)
2) la funzione di distribuzione di x
vi ringrazio
Risposte
la funzione di densità gode (meglio deve soddisfare) (almeno) due proprietà fondamentali: devi fare in modo che le soddisfi!
Le due proprietà dovrebbero essere:
a) $\f(x) >= 0$ e per questo basta porre k>0
b) $\int_{\-oo}^{\+oo} f(x) dx = 1 $
Le difficoltà iniziano al punto b)
Immagino che, considerata la funzione, l'integrale vada fatto tra -infinito e 0, ma non ho idea di come si faccia, e poi, una volta svolto, di come ricavare il k corretto.
grazie
a) $\f(x) >= 0$ e per questo basta porre k>0
b) $\int_{\-oo}^{\+oo} f(x) dx = 1 $
Le difficoltà iniziano al punto b)
Immagino che, considerata la funzione, l'integrale vada fatto tra -infinito e 0, ma non ho idea di come si faccia, e poi, una volta svolto, di come ricavare il k corretto.
grazie
Devi calcolare l'integrale al punto b) tra $-oo$ e $0$ (come hai detto giustamente). Poi lo uguagli a $1$ ed otterrai un'equazione in $k$. La risolvi e poi metti la soluzione a sistema con quella del punto a) ed ottieni il valore richiesto (che verosimilmente dipenderà da $\lambda$).
Facendo il tutto mi viene $k = -2 \lambda$ ma non sono del tutto sicuro del modo in cui ho risolto l'integrale.
secondo me, sia facendo l'integrale (che è improprio) che mettendo il risultato da te ottenuto a sistema con l'altra condizione dovresti ottenere delle condizioni su $\lambda$
Non capisco che intendi dire itpareid.
L'esercizio mi richiede di trovare un valore di k per cui la funzione data è una funzione di densità.
Credo che il risultato corretto (visto che la distribuzione è un esponenziale) sia $k = 2\lambda$ ma non riesco a capire dove sbaglio coi segni.
L'esercizio mi richiede di trovare un valore di k per cui la funzione data è una funzione di densità.
Credo che il risultato corretto (visto che la distribuzione è un esponenziale) sia $k = 2\lambda$ ma non riesco a capire dove sbaglio coi segni.
sì, però hai un integrale improprio (un estremo a $- \infty$) quindi dovrai porre delle condizioni per poter dire che a quell'estremo l'integrale esista finito...
in altre parole la primitiva per $x \to - \infty$ assume valore finito solo per determinati valori di $\lambda$
in altre parole la primitiva per $x \to - \infty$ assume valore finito solo per determinati valori di $\lambda$
Io ho agito così: ho calcolato l'integrale indefinito, calcolato in valore in 1 di tale integrale e poi, per calcolare il valore a $-oo$ ho calcolato il limite per $x-> -oo$ (mi viene 0).
Il risultato di quel limite è $0$ se $\lambda$ soddisfa una certa condizione.
perchè il valore in 1?
io avrei fatto:
$int_(- infty)^(+ infty) f(x) dx=int_(- infty)^(0) ke^(-2 \lambda x) dx=k int_(- infty)^(0) e^(-2 \lambda x) dx=k((e^(-2 \lambda x))/(-2 \lambda))_(- \infty)^0=-k/(2 \lambda) (e^(-2 \lambda x))_(- \infty)^0$
la primitiva in $0$ vale $1$ per ogni $\lambda$, nell'altro estremo hai un po' di problemi nel senso che
$lim_(x \to -\infty) e^(-2 \lambda x)$ assume valori diversi a seconda che $\lambda$ sia positivo, negativo o nullo.
sai calcolare questi limiti? per quali valori di $\lambda$ assume valore finito?
solo dopo ciò poni il risultato uguale a $1$ e ricavi $k$
io avrei fatto:
$int_(- infty)^(+ infty) f(x) dx=int_(- infty)^(0) ke^(-2 \lambda x) dx=k int_(- infty)^(0) e^(-2 \lambda x) dx=k((e^(-2 \lambda x))/(-2 \lambda))_(- \infty)^0=-k/(2 \lambda) (e^(-2 \lambda x))_(- \infty)^0$
la primitiva in $0$ vale $1$ per ogni $\lambda$, nell'altro estremo hai un po' di problemi nel senso che
$lim_(x \to -\infty) e^(-2 \lambda x)$ assume valori diversi a seconda che $\lambda$ sia positivo, negativo o nullo.
sai calcolare questi limiti? per quali valori di $\lambda$ assume valore finito?
solo dopo ciò poni il risultato uguale a $1$ e ricavi $k$
Grazie itpareid !
A questo punto prima di provare a fare il limite mi è sorto un alltro dubbio.
La x all esponente la devo considerare una quantità positiva o negativa (visto che la definizione della funzione è per le $x <=0$ (considerato che a seconda di come la considero cambia il tipo di "infinito" che si viene a formare al variare di lambda) ?
Intanto provo a ragionare un po' sui limiti
grazie ancora
A questo punto prima di provare a fare il limite mi è sorto un alltro dubbio.
La x all esponente la devo considerare una quantità positiva o negativa (visto che la definizione della funzione è per le $x <=0$ (considerato che a seconda di come la considero cambia il tipo di "infinito" che si viene a formare al variare di lambda) ?
Intanto provo a ragionare un po' sui limiti
grazie ancora
la $x$ è sempre negativa (tendendo a $- \infty$), $\lambda$ può avere segno qualunque, quindi anche l'esponente può avere segno qualunque, in più hai un $-$ davanti.
quindi se $\lambda<0$ l'esponente avrà segno $-$, se $\lambda>0$ avrà segno $+$
quindi per $\lambda<0$ il limite vale ... mentre per $\lambda>0$ vale ...
per $\lambda=0$ non ha senso studiarlo (tra l'altro $\lambda$ appare al denominatore...)
quindi se $\lambda<0$ l'esponente avrà segno $-$, se $\lambda>0$ avrà segno $+$
quindi per $\lambda<0$ il limite vale ... mentre per $\lambda>0$ vale ...
per $\lambda=0$ non ha senso studiarlo (tra l'altro $\lambda$ appare al denominatore...)
Se $\lambda > 0$ il limite vale $+oo$, e quindi non ha senso
Se $lambda < 0 $ il limite vale $0$.
Quindi a questo punto sono arrivato a:
$(-k) / (2\lambda) = 1$ da cui $k = -2\lambda$.
Ma essendo $\lambda < 0 $ posso quindi scrivere $k = 2\lambda$.
E' corretto ?
Se $lambda < 0 $ il limite vale $0$.
Quindi a questo punto sono arrivato a:
$(-k) / (2\lambda) = 1$ da cui $k = -2\lambda$.
Ma essendo $\lambda < 0 $ posso quindi scrivere $k = 2\lambda$.
E' corretto ?
edit:provo a riscrivere meglio:
se intendi trasformare $k=-2 \lambda$ per $\lambda <0$ in $k=2 \lambda$ per $\lambda >0$ è sbagliato perché per $\lambda >0$ la funzione densità non esiste
se invece scrivi che per $\lambda <0$ hai $k=-2 \lambda$ hai anche soddisfatto automaticamente l'altra ipotesi che ti permette di avere densità, cioè $f(x) \geq 0, \forall x$, che ti ha portato giustamente a porre la condizione $k>0$
se intendi trasformare $k=-2 \lambda$ per $\lambda <0$ in $k=2 \lambda$ per $\lambda >0$ è sbagliato perché per $\lambda >0$ la funzione densità non esiste
se invece scrivi che per $\lambda <0$ hai $k=-2 \lambda$ hai anche soddisfatto automaticamente l'altra ipotesi che ti permette di avere densità, cioè $f(x) \geq 0, \forall x$, che ti ha portato giustamente a porre la condizione $k>0$
si, ragionando mi ero accorto dello sbaglio.
Ho provato a svolgere il secondo punto del problema, ovvero l'identificazione della funzione caratteristica.
$F(x) = int_(- infty)^(x) f(t) dt$ (ometto i passaggi xkè non ho molta dimestichezza con MathMl e ci metterei tutto il pomeriggio
)
Mi è venuto : $1-e^(-2\lambdax)$ ovviamente per $x<=0$ , $0$ per $x>0$.
E' corretto ?
Ti ringrazio tantissimo per la disponibilità e per gli spunti a ragionare !
Ho provato a svolgere il secondo punto del problema, ovvero l'identificazione della funzione caratteristica.
$F(x) = int_(- infty)^(x) f(t) dt$ (ometto i passaggi xkè non ho molta dimestichezza con MathMl e ci metterei tutto il pomeriggio
)Mi è venuto : $1-e^(-2\lambdax)$ ovviamente per $x<=0$ , $0$ per $x>0$.
E' corretto ?
Ti ringrazio tantissimo per la disponibilità e per gli spunti a ragionare !
proviamo...
naturalmente $\lambda <0 $ e consideriamo giustamente $x \leq 0$
$F(x)=int_(-infty)^x -2 \lambda e^(-2 \lambda t) dt=-2 \lambda int_(-infty)^x e^(-2 \lambda t) dt=-2 \lambda (e^(-2 \lambda t)/(-2 \lambda))_(-infty)^x=(e^(-2 \lambda t))_(-infty)^x=...$
naturalmente $\lambda <0 $ e consideriamo giustamente $x \leq 0$
$F(x)=int_(-infty)^x -2 \lambda e^(-2 \lambda t) dt=-2 \lambda int_(-infty)^x e^(-2 \lambda t) dt=-2 \lambda (e^(-2 \lambda t)/(-2 \lambda))_(-infty)^x=(e^(-2 \lambda t))_(-infty)^x=...$
Come volevasi dimostrare ho fatto un errore coi segni!!
in $-oo$ la primitiva vale $1$
in $x$ vale $e^(-2\lambdax)$.
Quindi in definitiva il risultato corretto dovrebbe essere $ -1 + e^(-2\lambdax)$
in $-oo$ la primitiva vale $1$
in $x$ vale $e^(-2\lambdax)$.
Quindi in definitiva il risultato corretto dovrebbe essere $ -1 + e^(-2\lambdax)$
tra l'altro la tua non potrebbe neanche essere una funzione di distribuzione perché non ne ha le proprietà (limiti per $x$ a più o meno infinito ad esempio...)
Il secondo risultato che ho postato è corretto ?
Prova a vedere se ti viene più comodo fare:
$k=2lambda$, $lambda>0$
$f(x)=ke^(kx)$, per $x<0$.
$k=2lambda$, $lambda>0$
$f(x)=ke^(kx)$, per $x<0$.
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