Esercizio su Variabile Aleatoria
Salve a tutti. 
Ieri sfogliando le vecchie prove d'esame mi sono imbattuto in questo esercizio di probabilità. Il problema è che non riesco nemmeno a partire. Qualcuno mi potrebbe dare un aiuto? 
Grazie, anticipatamente!!
Ieri sfogliando le vecchie prove d'esame mi sono imbattuto in questo esercizio di probabilità. Il problema è che non riesco nemmeno a partire. Qualcuno mi potrebbe dare un aiuto? Grazie, anticipatamente!!
Risposte
Ciao!
Queste foto fatte agli esercizi sono un attentato alla salute mentale di chiunque voglia rispondere
Usa LateX la prossima volta!
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Qui c'è un editor per scrivere in LateX. Dopo aver
scritto la formula basta che la copi dall'editor e la incolli nel post, ricordando sempre, dopo averla incollata, di etichettarla come codice LateX: questo si fa evidenziandola e premendo poi ALT+M
Allora,se non riesci a partire ripassiamo insieme un po' di teoria:
- La variabile aleatoria esponenziale è utilissima per modellizzare il tempo restante prima che si verifichi un evento casuale (nel nostro caso, per intenterci, l'evento casuale è la rottura della batteria). Si chiama "esponenziale" perchè la sua funzione di densità di probabilità è una funzione esponenziale. Questa è la sua espressione:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\geq 0\\
f(x)=0, x< 0
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \lambda > 0 \) è il cosiddetto "parametro" della funzione.
- Ora, tramite la funzione generatrice dei momenti si possono dedurre valor medio e varianza di \(\displaystyle X \).
Trascuriamo qui la dimostrazione e diamo direttamente i valori:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
E\left (X \right )=\frac{1}{\lambda }\\
E\left (X^{2} \right )= \frac{1}{\lambda^{2} }
\end{matrix}\right. \)
- A questo punto, la cosa da fare è scegliere le nostre variabili aleatorie esponenziali, ciascuna delle quali rappresenterà il tempo restante della batteria i-esima prima della rottura, ciascuna di parametro \(\displaystyle \lambda \) e quindi di valor medio \(\displaystyle E\left (X_{i} \right )=\frac{1}{\lambda_{i} } = 10 \),
essendo 10 giorni, nel nostro caso, il tempo di vita medio di ogni batteria prima della rottura. Da qui segue subito che
\(\displaystyle \lambda _{i}=0.1 \).
- Nel primo quesito abbiamo che:
\(\displaystyle X_{1},X_{2} \): tempo restante alle due batterie dall'inzio del funzionamento
\(\displaystyle t=5 \) , poichè le 2 batterie sono in funzione da 5 giorni
\(\displaystyle s=5 \), perchè vogliamo che intrambe durino non più di altri 5 giorni (nota che la traccia dice "..che si guastino entro 5 giorni"), quindi in tutto non più di 10. \(\displaystyle s+t=10 \)
Calcoliamo, dunque, la \(\displaystyle P(X_{1}\leq s+t\bigcap X_{2}\leq s+t) \)
\(\displaystyle P(X_{1}\leq s+t\bigcap X_{2}\leq s+t)=P\left (X_{1}\leq s+t \right )\cdot P(X_{2}\leq s+t) \)
per l'indipendenza di \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{1} \) ["...ciascuna delle quali si può guastare indipendentemente dalle altre"]. Inoltre:
\(\displaystyle P\left (X_{1}\leq s+t \right )\cdot P(X_{2}\leq s+t)=\Phi (s+t)\cdot \Phi (s+t)=[\Phi (s+t)]^{2} \),
dove \(\displaystyle \Phi(x):=P(X\leq x) \) è la funzione di ripartizione, nel nostro caso uguale per le due variabili, essendo le due batterie uguali. Per un' esponenziale la funzione di ripartizione si esprime così:
\(\displaystyle \Phi(x)= 1-e^{-\lambda x} \). Da cui \(\displaystyle \left (1-e^{-0.1\cdot 10} \right )^{2} \) è la probabilità cercata.
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Allora,se non riesci a partire ripassiamo insieme un po' di teoria:
- La variabile aleatoria esponenziale è utilissima per modellizzare il tempo restante prima che si verifichi un evento casuale (nel nostro caso, per intenterci, l'evento casuale è la rottura della batteria). Si chiama "esponenziale" perchè la sua funzione di densità di probabilità è una funzione esponenziale. Questa è la sua espressione:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\geq 0\\
f(x)=0, x< 0
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \lambda > 0 \) è il cosiddetto "parametro" della funzione.
- Ora, tramite la funzione generatrice dei momenti si possono dedurre valor medio e varianza di \(\displaystyle X \).
Trascuriamo qui la dimostrazione e diamo direttamente i valori:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
E\left (X \right )=\frac{1}{\lambda }\\
E\left (X^{2} \right )= \frac{1}{\lambda^{2} }
\end{matrix}\right. \)
- A questo punto, la cosa da fare è scegliere le nostre variabili aleatorie esponenziali, ciascuna delle quali rappresenterà il tempo restante della batteria i-esima prima della rottura, ciascuna di parametro \(\displaystyle \lambda \) e quindi di valor medio \(\displaystyle E\left (X_{i} \right )=\frac{1}{\lambda_{i} } = 10 \),
essendo 10 giorni, nel nostro caso, il tempo di vita medio di ogni batteria prima della rottura. Da qui segue subito che
\(\displaystyle \lambda _{i}=0.1 \).
- Nel primo quesito abbiamo che:
\(\displaystyle X_{1},X_{2} \): tempo restante alle due batterie dall'inzio del funzionamento
\(\displaystyle t=5 \) , poichè le 2 batterie sono in funzione da 5 giorni
\(\displaystyle s=5 \), perchè vogliamo che intrambe durino non più di altri 5 giorni (nota che la traccia dice "..che si guastino entro 5 giorni"), quindi in tutto non più di 10. \(\displaystyle s+t=10 \)
Calcoliamo, dunque, la \(\displaystyle P(X_{1}\leq s+t\bigcap X_{2}\leq s+t) \)
\(\displaystyle P(X_{1}\leq s+t\bigcap X_{2}\leq s+t)=P\left (X_{1}\leq s+t \right )\cdot P(X_{2}\leq s+t) \)
per l'indipendenza di \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{1} \) ["...ciascuna delle quali si può guastare indipendentemente dalle altre"]. Inoltre:
\(\displaystyle P\left (X_{1}\leq s+t \right )\cdot P(X_{2}\leq s+t)=\Phi (s+t)\cdot \Phi (s+t)=[\Phi (s+t)]^{2} \),
dove \(\displaystyle \Phi(x):=P(X\leq x) \) è la funzione di ripartizione, nel nostro caso uguale per le due variabili, essendo le due batterie uguali. Per un' esponenziale la funzione di ripartizione si esprime così:
\(\displaystyle \Phi(x)= 1-e^{-\lambda x} \). Da cui \(\displaystyle \left (1-e^{-0.1\cdot 10} \right )^{2} \) è la probabilità cercata.
Grazie Mille!!! Sono riuscito a capire tutti i passaggi, sei stato molto chiaro! Mi è stata molto utile la spiegazione iniziale, perché c'erano delle cose della v.a. esponenziale che non mi erano ben chiare...ed erano fondamentali per lo svolgimento dell'esercizio!! Grazie ancora 
L'unico mio dubbio è: la probabilità assume valori da 0 a 1 compresi. Perché la probabilità trovata nel secondo punto è > 1 ? O.o
L'unico mio dubbio è: la probabilità assume valori da 0 a 1 compresi. Perché la probabilità trovata nel secondo punto è > 1 ? O.o
"Taraste":
L'unico mio dubbio è: la probabilità assume valori da 0 a 1 compresi. Perché la probabilità trovata nel secondo punto è > 1 ? O.o
Hai perfettamente ragione. Infatti ho scritto una cretinata. Dunque, penso che la cosa si possa risolvere così:
- Nel secondo quesito non sappiamo da quanto tempo le due batterie stiano funzionando ("..sapendo che in questo momento.."). Perciò, avendo indicato con \(\displaystyle X_{i} \) il tempo restante dall' inizio del funzionamento per la batteria i-esima, non possiamo scrivere che la probabilità cercata è \(\displaystyle P(X_{1}\leq 10\bigcup X_{2}\leq 10) \), perchè \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{2} \), per come sono state inzialmente definite, non rappresentano il tempo restante alla batteria i-esima a partire da un istante generico (che è ciò che noi vogliamo), bensì dall'inizio del loro funzionamento.
-Dobbiamo trovare, quindi, un'altra strada. Ci viene in soccorso una proprietà fondamentale delle esponenziali: l'assenza di memoria. Cioè la probabilità che il tempo restante dall'inzio del funzionamento sia maggiore di un tempo \(\displaystyle s+t \), considerando che esso è sicuramente maggiore di \(\displaystyle t \), è uguale alla probabilità che esso sia maggiore di un tempo \(\displaystyle s \). In parole povere, sapere che la batteria i-esima sia in funzione da 1, 5, 7 o qualsiasi altro numero di giorni, non altera la probabilità che essa rimanga in funzione per almeno un ulteriore tempo \(\displaystyle s \). In formule:
\(\displaystyle P(X> s+t|X> t)=P(X> s) \)
- Scegliamo dunque un'altra strada:
l'evento: "il sistema si bloccherà entro 10 giorni" si verifica quando non si verifica il suo complementare: "il sistema durerà più di 10 giorni", cioè quando non si verifica l'evento: "entrambe le batterie dureranno più di dieci giorni".
Con questi semplici passaggi logici eliminiamo le difficoltà precedenti. Infatti, in formule:
\(\displaystyle P(X_{1}> t+10\bigcap X_{2}>t+10) \) è la probabilità che il sistema duri minimo altri dieci giorni. \(\displaystyle t \) è il tempo incognito per cui hanno funzionato le batterie sin ora. Grazie alla proprietà di assenza di memoria possiamo scrivere:
\(\displaystyle P(X_{1}> t+10\bigcap X_{2}>t+10)=P(X_{1}> 10\bigcap X_{2}> 10)=P\left ( X_{1}> 10 \right )\cdot P(X_{2}>10) \),
dove la prima uguaglianza segue dall' assenza di memoria e la seconda dall 'indipendenza del funzionamento delle batterie. Noi vogliamo la probabilità dell'evento complementare:
P(il sistema si blocchi entro dieci giorni)= \(\displaystyle 1-P\left ( X_{1}> 10 \right )\cdot P(X_{2}>10)=1-(1-\phi (10))^{2}=1-(e^{-0.1\cdot 10})^{2}\cong0.865 \)
Volevo dirti solo un'altra cosa. Quello che avevo scritto prima riguardo al secondo esercizio era un errore grave, derivato dal cambiare il significato della variabile aleatoria all'interno dello stesso problema.
Cioè, nel primo quesito la \(\displaystyle X_{i} \) rappresenta "il tempo restante alla batteria i-esima a partire dall' inizio del suo funzionamento". Nel secondo quesito dello stesso problema non può passare ad indicare dal niente "il tempo restante, essendo trascorso un generico tempo \(\displaystyle t \)". Indicherà, quindi, anche lì il tempo restante dall'inzio del funzionamento!
Cioè, nel primo quesito la \(\displaystyle X_{i} \) rappresenta "il tempo restante alla batteria i-esima a partire dall' inizio del suo funzionamento". Nel secondo quesito dello stesso problema non può passare ad indicare dal niente "il tempo restante, essendo trascorso un generico tempo \(\displaystyle t \)". Indicherà, quindi, anche lì il tempo restante dall'inzio del funzionamento!
Grazie mille dell'aiuto!!! Tutto chiaro
Tutto chiaro
Grazie a te per avermi fatto fare un bel ripasso delle esponenziali! 
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