Esercizio su v.a. discrete
Buonasera, ho un problema con questo esercizio:
"Due dadi equilibrati vengono lanciati separatamente più volte. Indichiamo con $X$ il numero di lanci necessario a ottenere 1 con il primo dado e con $Y$ il numero di lanci necessario a ottenere 5 o 6 con il secondo.
a) Qual è la legge di $X$? Qual è la legge di $Y$?
b) Calcolare la densità di $Z=max(X,Y)$.
c) Calcolare $P{X>=Y}$."
a) Data la struttura delle prove, le due variabili aleatorie hanno legge geometrica di parametri $1/6$ per $X$ e $2/3$ per $Y$.
Quindi mi trovo le leggi:
$P{X=k}=1/6(5/6)^(k-1)=5^(k-1)/6^k$
$P{Y=k}=1/3(2/3)^(k-1)=2^(k-1)/3^k$.
b) Per calcolare la densità di $Z$ mi conviene determinare la sua funzione di ripartizione:
$F_Z(k)=P{Z<=k}=P{max(X,Y)<=k} =P{X<=k,Y<=k}=P{X<=k}P{Y<=k}$
Siccome la funzione di ripartizione di una v.a. geometrica di parametro $p$ è $F(k)=1-(1-p)^(k+1)$, ho
$F_Z(k)=(1-(5/6)^(k+1))(1-(2/3)^(k+1))$, e da ciò:
$P{Z=k}=F_Z(k)-F_Z(k-1)$.
c) L'ultimo punto ho pensato di risolverlo così (scrivo tutti i passaggi perché qui non mi trovo con la soluzione):
$P{X>=Y}=\sum_k P{X>=k}P{Y=k}$
Siccome, se $X$ ha legge geometrica di parametro $p$, vale
$P{X>=k}=(1-p)^k$
posso scrivere
$P{X>=Y}=\sum_k P{X>=k}P{Y=k}=\sum_k(5/6)^k2^(k-1)/3^k=\sum_k(5^k2^(k-1))/(6^k3^k)=1/2\sum_k(10/18)^k=9/8$
Mentre il risultato è $3/4$.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
"Due dadi equilibrati vengono lanciati separatamente più volte. Indichiamo con $X$ il numero di lanci necessario a ottenere 1 con il primo dado e con $Y$ il numero di lanci necessario a ottenere 5 o 6 con il secondo.
a) Qual è la legge di $X$? Qual è la legge di $Y$?
b) Calcolare la densità di $Z=max(X,Y)$.
c) Calcolare $P{X>=Y}$."
a) Data la struttura delle prove, le due variabili aleatorie hanno legge geometrica di parametri $1/6$ per $X$ e $2/3$ per $Y$.
Quindi mi trovo le leggi:
$P{X=k}=1/6(5/6)^(k-1)=5^(k-1)/6^k$
$P{Y=k}=1/3(2/3)^(k-1)=2^(k-1)/3^k$.
b) Per calcolare la densità di $Z$ mi conviene determinare la sua funzione di ripartizione:
$F_Z(k)=P{Z<=k}=P{max(X,Y)<=k} =P{X<=k,Y<=k}=P{X<=k}P{Y<=k}$
Siccome la funzione di ripartizione di una v.a. geometrica di parametro $p$ è $F(k)=1-(1-p)^(k+1)$, ho
$F_Z(k)=(1-(5/6)^(k+1))(1-(2/3)^(k+1))$, e da ciò:
$P{Z=k}=F_Z(k)-F_Z(k-1)$.
c) L'ultimo punto ho pensato di risolverlo così (scrivo tutti i passaggi perché qui non mi trovo con la soluzione):
$P{X>=Y}=\sum_k P{X>=k}P{Y=k}$
Siccome, se $X$ ha legge geometrica di parametro $p$, vale
$P{X>=k}=(1-p)^k$
posso scrivere
$P{X>=Y}=\sum_k P{X>=k}P{Y=k}=\sum_k(5/6)^k2^(k-1)/3^k=\sum_k(5^k2^(k-1))/(6^k3^k)=1/2\sum_k(10/18)^k=9/8$
Mentre il risultato è $3/4$.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Risposte
no impostata così è sbagliata. Tra l'altro anche ammesso che l'avessi impostata giusta hai sbagliato a calcolare la sommatoria.
Come l'hai scritta tu $k$ parte da 1 e quindi prima devi raccogliere $10/18$....
è una doppia somma
se $X=1$ allora $Y=1$
se $X=2$ allora $Y=1,2$
ecc ecc ...prova da solo che non ho tempo....domani è festa e devo finire un sacco di cose
anche questo non è corretto
ci va la disuguaglianza forte.
$P(X>=Y)=P(X+1>Y)=1/3sum_(y=1)^(+oo)(2/3)^(y-1)(5/6)^(y-1)=1/3sum_(y=1)^(+oo)(5/9)^(y-1)=1/3\cdot9/4=3/4$
tutto qui
la doppia somma (che sarebbe necessaria) si può evitare avendo già l'espressione di $P(X>k)=(5/6)^k$
Come l'hai scritta tu $k$ parte da 1 e quindi prima devi raccogliere $10/18$....
è una doppia somma
se $X=1$ allora $Y=1$
se $X=2$ allora $Y=1,2$
ecc ecc ...prova da solo che non ho tempo....domani è festa e devo finire un sacco di cose
anche questo non è corretto
"MrMojoRisin89":
$P{X>=k}=(1-p)^k$
ci va la disuguaglianza forte.
$P(X>=Y)=P(X+1>Y)=1/3sum_(y=1)^(+oo)(2/3)^(y-1)(5/6)^(y-1)=1/3sum_(y=1)^(+oo)(5/9)^(y-1)=1/3\cdot9/4=3/4$
tutto qui
la doppia somma (che sarebbe necessaria) si può evitare avendo già l'espressione di $P(X>k)=(5/6)^k$
"tommik":
anche questo non è corretto
[quote="MrMojoRisin89"]
$P{X>=k}=(1-p)^k$
ci va la disuguaglianza forte.[/quote]
è scritta sul libro (Baldi...), è sbagliata?
alcune forme della geometrica usano il dominio $x=0,1...$ invece che il consueto $x=1,2.....$
tu hai usato la CDF come la intendo io...quindi devi usare la funzione di sopravvivenza in modo analogo....
guarda QUI
io uso da sempre (fai conto che queste cose le ho fatte 30 anni fa) la parametrizzazione di sinistra....altrimenti mi confondo...tu usa quella che vuoi ma se usi la funzione del Baldi (che tra l'altro è un testo che non mi piace affatto) devi usare anche la densità accordata di conseguenza
l'importante è che ti torni l'esercizio..a me torna.
tu hai usato la CDF come la intendo io...quindi devi usare la funzione di sopravvivenza in modo analogo....
guarda QUI
io uso da sempre (fai conto che queste cose le ho fatte 30 anni fa) la parametrizzazione di sinistra....altrimenti mi confondo...tu usa quella che vuoi ma se usi la funzione del Baldi (che tra l'altro è un testo che non mi piace affatto) devi usare anche la densità accordata di conseguenza
l'importante è che ti torni l'esercizio..a me torna.
quindi in pratica nella sommatoria che ho allegato come immagine, $k$ parte da $0$, mentre nel calcolo con la funzione di ripartizione che ho fatto nel primo messaggio, parte da $1$?
esattamente. Tu hai impostato l'esercizio come avrei fatto io....contando il numero di prove per avere un successo...esiste anche la parametrizzazione che conta il numero di fallimenti....stesso discorso con la distribuzione $Gamma$ ci sono un sacco di parametrizzazioni....io ne so una e stop, altrimenti vado in palla
in wikipedia nella pagina in italiano c'è solo la parametrizzazione con i successi...nella pagina in inglese ci sono entrambe, come puoi notare....usa quella che ti pare, basta che capisci.
in wikipedia nella pagina in italiano c'è solo la parametrizzazione con i successi...nella pagina in inglese ci sono entrambe, come puoi notare....usa quella che ti pare, basta che capisci.
chiarissimo, grazie mille!
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