Esercizio su una funzione di una Variaible Aleatoria

[magri1]

Ho bisogno del vostro prezioso aiuto per questo esercizio

Sia $X$ uniforme in $[0,1]$
Trovare la funzione di ripartizione di $Y=max(x,1-x)$

in particolare ho problemi a trattare il caso in cui $y=1-x$

[hamming_burst]

Ciao,
bhe non è troppo complicato, consideriamo che siano v.a. continue ed indipendenti, smentisci tale supposizione se il testo lo dice...

Chiamiamo $Z=1-X$ quello che devi trovare è la funzione di ripartizione (congiunta) di $Y=max(X,Z)$

$F_Y(y) = P{max(X,Z)<=y} = P{{X<=y} \cap {Z<=y}} = P{X<=y}P{Z<=y}$ assumendo siano indipendenti (prova a vedere se è effettivamente così alla fine).

$X \sim U(0,1)$ allora $F_X(x) = x$
La cosa che manca è $F_Z(z)$, ma è facile notare che anche $Z$ è uniforme: $P{Z<=y} = P{1-X <= y} = P{X >= 1 - y} = ...$

lascio te concludere....

[magri1]

ciao

il testo non fornisce altre indicazioni,


io avevo affrontato la questione in questo modo ossia ho diviso y in 2 intervalli ossia quando
$y=x$ con $ 1/2 $y=1-x$ quando $0
quando $y=x$ mi risulta correttamente che $F_Y(t)=2t-1$ con $1/2
il risultato dice che $F_Y(t)=0$ con $t<1/2$ e questo proprio non riesco a ottenerlo
capisco invece che poi è giustamente $F_Y(t)=1$ con $ t>1$

[hamming_burst]

"magri":
io avevo affrontato la questione in questo modo ossia ho diviso y in 2 intervalli ossia quando
$y=x$ con $ 1/2 $y=1-x$ quando $0

su che base hai diviso l'intervallo in questo modo? hai utilizzato il concetto di mediano, hai disegnato il grafico?

quando $y=x$ mi risulta correttamente che $F_Y(t)=2t-1$ con $1/2

mmm da dove viene fuori quel $-1$ non mi torna nei calcoli.

[magri1]

se $y=max(x,1-x)$ allora ho cercato per quali valori di $x$ è $y=x$ oppure $y=x-1$
in pratica ho risolto la disequazione $x>1-x$ che ha soluzione $1/2
quindi nell'intervallo in cui è $y=x$ ho una v.a uniforme su l'intervallo da $1/2$ a $1$ per cui dovendo essere uguale a 1 l'area di quel rettangolo di base $1/2$ mi viene una densità di $2$ e quindi la funzione di distribuzione viene $F_Y(y)=2y-1$

Che non mi torna invece è sull'intervallo $0,1/2$ in cui la soluzione dice che $F:Y(y)=0$ quì proprio vado in confusione

[fure1]

Se \(x\) ha valori tra \(0\) e \(1\), allora \(max(x,1-x)\) avrà valori compresi tra \(\frac{1}{2}\) e \(1\).
Infatti se \(x<\frac{1}{2}\Rightarrow(1-x)>\frac{1}{2}\) mentre se \(x>\frac{1}{2}\Rightarrow(1-x)<\frac{1}{2}\) .
Giustamente la soluzione segnala che la probabilità di \(Y\) di trovarsi tra \(0\) e \(\frac{1}{2}\) è pari a \(0\).
Trovato il supporto, su di esso la funzione di ripartizione sarà quindi pari a quella di un'uniforme \((\frac{1}{2},1)\),che è appunto il risultato che hai trovato.

[magri1]

si infatti a fatica ci ero arrivato anche io

Mi resta un dubbio "collaterale" se $x$ è uniforme come sarà allora $1-x$?? uniforme pure lei e dovendo essere l'area unitaria e medesimo l'intervallo allora $1-x$ ha la stessa densità di $x$

Corretto?

[hamming_burst]

"magri":si infatti a fatica ci ero arrivato anche io

Mi resta un dubbio "collaterale" se $x$ è uniforme come sarà allora $1-x$?? uniforme pure lei e dovendo essere l'area unitaria e medesimo l'intervallo allora $1-x$ ha la stessa densità di $x$

Corretto?

come ho annotato sopra c'è una correlazione tra le due distribuzioni $X$ e $Z=1-X$

$Z$ è una trasformazione lineare di $X$. In generale $Z=bX + a$ in questo caso $a=1$ e $b=-1$. Ci sono delle proposizioni e definizioni generali sulle trasformazioni (valide per molte distribuzioni) riportati su qualsiasi buon libro, Prova a darci un'occhiata, se hai dubbi ne riparliamo senza problemi