Esercizio su una distribuzione di v.a.

[Pigreco2016]

Studiando ho incontrato un esercizio che mi chiedeva di calcola la distruzione di v.a. data da $Z=max{X,Y}-X $ (X e Y variabili indipendenti con distribuzione geometrica e fin qui tutto bene. Ho provato a variare l'esercizio con
$ Z=max{X,Y}+X $ e sto incontrando delle grosse difficoltà. Qualcuno potrebbe darmi una mano?
La mia idea è quella di procedere come nell'esercizio precedente solo che la distribuzione che ottengo non ha "somma" di probabilità uguale ad 1. Se qualcuno è interessato posso riportare anche per esplicito i calcoli che ho fatto io per provare a risolverlo.

[Istinto]

Che distribuzione hai trovato per Z? Max xy - z

[Pigreco2016]

Ho svolto così:
$ P( Z=k) = P( max{X,X}+X=k , X\geq Y) + P( X+Y=k, X Il primo addendo del secondo membro può assumere solamente dei valori pari ($ k=2n $), mentre il secondo addendo può assumere i valori ($ k=3,4,5\ldots $).
Quindi $P( 2X=k , X\geq Y)=P( X=n , X\geq Y)= pq^(n-1)\sum_{j=1}^n pq^(j-1) = (1-q)(q^(n-1)-q^(2n-1)) $, mentre
$ P( X+Y=k, X

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[Pigreco2016]

Penso di aver risolto il mio problema: nella probabilità $ P(X+Y=k,X Ora riesco ad ottenere $\sum_{n=1}^(+\infty) [(1-q)(q^(n-1)-q^(2n-1))+np^2(q^(2n)+q^(2n-1))] =1 $
Se qualcuno può confermare l'esattezza di tale svolgimento e correttezza nei calcoli mi farebbe molto piacere.

[Lo_zio_Tom]

L'approccio è corretto ma la pnf non la vedo. Che la somma delle $ p (z) $ sia uguale a 1 è ovvio e non servono tutti quei conti.

Tu devi dividere il dominio di Z-> $[2,3...) $ in $ z_(pari) $ e $ z_(dispari) $ trovando le relative $ p (z) $
I conti non li ho guardati anche perché nel testo non hai specificato se le due geometriche sono iid oppure solo indipendenti, una di parametro $ p $ e l'altra di parametro $ q $.

Scrvi bene la pmf che la controllo appena ho tempo

Ciao

[Pigreco2016]

Le v.a. $ X $ e $ Y $ sono indipendenti e somiglianti entrambe con lo stesso parametro.
Le probabilità che ho trovato sono:
$ P(z=k):=$

$ (1-q)(q^(n-1)-q^(2n-1))" se "X\geqY" e " k=2n $[/list:u:f20n0r2f]

$ np^2q^(2n-1)" se "X
$ np^2q^(2n)" se "X Sinceramente non mi soddisfa ancora questa definizione perché vorrei riuscire ad eliminare la dipendenza da $X $ e $Y $

[Pigreco2016]

Forse bisogna riuscire ad inglobare i due casi in $ k $ assume un valore pari. L'unica cosa che mi viene in mente è di "traslare indietro " il caso riferito a $ k=2n+2 $ in modo da sommarlo al caso di $ k=2n $ e isolare il caso in cui $ k=2 $ visto che capita unicamente quando $ X\geqY $. Quello che ho appena scritto a parole lo formulo così:
$ P(Z=k):=$

$(1-q)^2" se " k=2$[/list:u:1w1ffe36]

$np^2q^(2n-1)" se "k=2n+1 $[/list:u:1w1ffe36]

$(1-q)(q^(n-1)-q^(2n-1))+(n-1)p^2q^(2(n-1))" se "k=2n" "(n>1)$[/list:u:1w1ffe36]

[Lo_zio_Tom]

Allora viene così:

Per k dispari $>=3$

$ P (z=k)=p^2 (k-1)/2 q^(k-2) $

Per k pari

$P (z=k)= p^2 (k/2-1) q^(k-2)+q^(k/2-1) p^2 sum_(y=1)^(k/2) q^(y-1) $

La somma delle probabilità fa uno perché sono partito dalla matrice della pmf congiunta.

Nota: le variabili marginali sono $ Geom (p) $ indipendenti.

...ho perso la pennica pomeridiana per questo sudoku...per favore non inventare altre trappole come questa.

[Pigreco2016]

Grazie per avermi seguito in questo esercizio pazzo non pensavo che cambiando un segno ad un esercizio si sconvolgesse così tanto la risoluzione

[Pigreco2016]

Hai notato che se metti $k=2n+1 $ quando $ k $ è dispari nella tua definizione di densità, ritrovi lo stesso caso che ho descritto io? Io sono arrivato a quel risultato facendo il disegno quando $ X+Y=2n+1" e "X

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