Esercizio su triangoli e leggi condizionali

[fransis2]

Avendo appena studiato la leggi condizionali ho voluto provare a risolvere un noto problema tramite esse. Il problema è: dato un triangolo calcolare la probabilità che esso sia acutangolo che notoriamente è $\frac{1}{4}$. Io ho ragionato così. Detto $A$ l'evento "il triangolo è acutangolo" e detti $x, y, z$ gli angoli e $X,Y, Z$ le variabili aleatorie che li rappresentano e sia $f$ la densità della v.a. $X$ allora si ha $P(A)=\int_{0}^{90}f(x)P(A|X=x)$. Ora $f(x)=1/180$ avendo $X$ la densità uniforme, mentre $P(A|X=x)=\frac{x}{180-x}$ in quanto se $X=x$ allora l'angolo $y$ potrà andare da $90-x$ a $90$, mentre a priori $y$ potrebbe andare da $0$ a $180-x$. Svolgendo l'integrale non mi torna $\frac{1}{4}$. Non capisco cosa sbaglio. Forse ora mi viene il dubbio che $X$ non ha la densità uniforme...

[fransis2]

forse mi sono autorisposto. Vedete se ragiono bene. Calcoliamo $P{X\leqx}$. Lo spazio degli eventi posso considerarlo ${(x,y)| x\geq0, y\geq0, x+y\leq180}$ con la densità uniforme. Quindi $P{X\leqx}=1-P{X\geqx}=1-\frac{\frac{(1-x)^2}{2}}{\frac{1}{2}}=2x-x^2$ come si riconosce immediatamente se si disegna sulpiano (x,y) lo spazio degli eventi (viene il rapporto tra le aree di due triangoli). Quindi $f(x)=2-2x$ che inserito nell'integrale di prima dà esattamente $\frac{1}{4}$ che è il risultato voluto. Tutto giusto?