Esercizio su trasformazioni aleatorie

[pasquale2016]

Salve a tutti, mi aiutate con questo esercizio?

Siano $X$ ed $Y$ due variabili aleatorie gaussiane standard statisticamente indipendenti:
1) calcolare la funzione densita' di probabilita' (pdf) della v.a. $Z=-4Y$
2) calcolare la funzione densita' di probabilita' (pdf) della v.a. $W=X+Y$

$X~N(0,1)$
$Y~N(0,1)$
Quindi si tratta di variabili aleatorie iid (indipendenti ed identicamente distribuite).
Io ho svolto (sbagliando sicuramente xD) nel seguente modo


PRIMO PUNTO
E' possibile riguardare la v.a. $Z=-4Y$ come una trasformazione $LS(b,a)=LS(0,-4)$ della v.a. $Y$?
Se si, facendo i conti, ottengo:
$f_(Z)(z)=(1/a)f_(0)((x-b)/a)$
e cioè:

$f_(Z)(z)=-1/(4sqrt(2pi))*exp{-x^(2)/32}$

SECONDO PUNTO
$f_Z(z)=\int_(-oo)^(+oo) f_(XY)(x,z-x)dx=\int_(-oo)^(+oo) f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx=$

$=\int_(-oo)^(+oo) [1/sqrt(2pi) e^(-x^(2)/2)][1/sqrt(2pi) e^(-(z-x)^(2)/2)]dx=$

$=1/(4pi) \int_(0)^(+oo) e^[-1/2(x^2+(z-x)^2)]dx$

[Lo_zio_Tom]

che casino!!!!

si risolve senza nemmeno fare i conti

somma o combinazioni lineari di gaussiane sono ancora gaussiane (e si dimostra in tempo zero con la MGF).
Quindi per risolvere il quesito ti basta usare le proprietà di media e varianza

$Z~N(0;16)$

Il tuo risultato è sbagliato perché ci va 32 al denominatore dell'esponente, non 8


analogamente il punto 2) $W~N(0;2)$

[pasquale2016]

"tommik":
Il tuo risultato è sbagliato perché ci va 32 al denominatore dell'esponente, non 8

Si mi trovo, ho rivisto il calcolo e corretto quanto scirtto nella traccia

[Lo_zio_Tom]

e nemmeno il meno davanti alla densità ....e nemmeno la x...visto che la variabile è z

...jamm'ja

[pasquale2016]

Ho ripetuto l'esercizio nello stesso modo in cui lo hai fatto tu (abbandonando la teoria delle trasformazioni aleatorie) e trovo quanto segue.

$Z=-4Y$
CALCOLO MEDIA E VARIANZA
$E[Z]=-4E[Y]=0$
$var(Z)-=sigma_(Z)^2=16sigma_(Y)^2=16$
Quindi, essendo una gaussiana completamente caratterizzata da media e varianza, avrò:
$Z~N(0,16)$ e quindi la sua pdf è

$f_Z(z)=1/(sqrt(2pi))exp{-z^(2)/32}$

$W=X+Y$
Ripetendo la stessa cosa per il secondo punto trovo che
$W~N(0,2)$ e quindi la sua pdf è

$f_W(w)=1/(sqrt(2pi))exp{-z^2/4}$

[Lo_zio_Tom]

CaXXo ma non è possibile!!!!




se non ti ricordi la formula della densità di una normale apri il libro...oppure non scriverle analiticamente....così non scrivi fesserie.


$f(z)=1/(4sqrt(2pi))exp{-z^2/32}$


$f(w)=1/(2sqrt(pi))exp{-w^2/4}$

[pasquale2016]

HAI RAGIONE, SCUSA :')

[Lo_zio_Tom]

ora il prof ti chiede:

sì va bene...ma come fai a dire che $W=X+Y$ è davvero gaussiana?


tu che rispondi?

[pasquale2016]

Me lo hai detto anche tu prima il motivo per il quale è ancora gaussiana

"tommik":
somma o combinazioni lineari di gaussiane sono ancora gaussiane (e si dimostra in tempo zero con la MGF).