Esercizio su trasformazione di v.c. normali
Vi propongo il seguente esercizio su cui ho un dubbio di impostazione.
Siano $ Z_1 $ e $ Z_2 $ due variabili casuali normali standardizzate e siano X e Y le loro trasformate:
$ X = 3.3Z_1 - Z_2 $
$ Y= Z_1 + 4.1Z_2 $
1) Derivare la distribuzione della variabile casuale (X,Y)
2) Derivare il vettore delle medie di (X,Y)
3) Derivare matrice var-cov di (X,Y)
Il problema fondamentale che sto riscontrando è capire se $ Z_1 $ e $ Z_2 $ sono indipendenti.
Supponendo che siano indipendenti, l'esercizio è molto semplice da svolgere poichè avremo una normale bivariata con parametri:
$ mu = [ ( 3.3 , -1 ),( 1 , 4.1 ) ] ( (0), (0) ) = ( (0), (0) ) $
$ Sigma = [ ( 3.3 , -1 ),( 1 , 4.1 ) ]*[ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ]*[ ( 3.3 , 1 ),( -1 , 4.1 ) ] = [ ( 11.89 , -0.8 ),( -0.8 , 17.81 ) ] $
Ciò che non mi è chiaro è se posso, data la traccia del problema, considerare le due variabili z1 e z2 indipendenti e quindi porre la covarianza uguale a 0. Spero solo di non star facendo qualche errore banale. Attendo una conferma della bontà del procedimento e vi ringrazio a priori.
Siano $ Z_1 $ e $ Z_2 $ due variabili casuali normali standardizzate e siano X e Y le loro trasformate:
$ X = 3.3Z_1 - Z_2 $
$ Y= Z_1 + 4.1Z_2 $
1) Derivare la distribuzione della variabile casuale (X,Y)
2) Derivare il vettore delle medie di (X,Y)
3) Derivare matrice var-cov di (X,Y)
Il problema fondamentale che sto riscontrando è capire se $ Z_1 $ e $ Z_2 $ sono indipendenti.
Supponendo che siano indipendenti, l'esercizio è molto semplice da svolgere poichè avremo una normale bivariata con parametri:
$ mu = [ ( 3.3 , -1 ),( 1 , 4.1 ) ] ( (0), (0) ) = ( (0), (0) ) $
$ Sigma = [ ( 3.3 , -1 ),( 1 , 4.1 ) ]*[ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ]*[ ( 3.3 , 1 ),( -1 , 4.1 ) ] = [ ( 11.89 , -0.8 ),( -0.8 , 17.81 ) ] $
Ciò che non mi è chiaro è se posso, data la traccia del problema, considerare le due variabili z1 e z2 indipendenti e quindi porre la covarianza uguale a 0. Spero solo di non star facendo qualche errore banale. Attendo una conferma della bontà del procedimento e vi ringrazio a priori.
Risposte
"sgarge":
Ciò che non mi è chiaro è se posso, data la traccia del problema, considerare le due variabili z1 e z2 indipendenti e quindi porre la covarianza uguale a 0.
Purtroppo questo lo dovresti sapere tu...a rigor di logica, data la traccia, direi di no. Però il problema non è complicato. In ogni caso $Z_1$ e $Z_2$ sono congiuntamente gaussiane e quindi tutta la loro dipendenza è catturata dal coefficiente di correlazione lineare $rho$.
Di conseguenza il problema è risolvibile parametricamente includendo anche l'eventuale correlazione fra le due gaussiane di partenza. Impostando $rho=0$ troverai il risultato che hai scritto tu.
Se invece l'esercizio è ad un livello più elementare, allora può darsi che ci sia semplicemente una "disattenzione" nella traccia che si è "dimenticata" di indicare che le due variabili sono fra loro incorrelate.
Grazie della risposta tommik 
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