Esercizio su trasformazione di variabile aleatoria discreta

[walterbianco1]

Salve avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Sia Y=X^2, con X variabile aleatoria bernoulliana di parametri X={1,3} e sia p=Pr(X=1).
Calcolare media e varianza di Y.

Sono completamente bloccato su questo esercizio poiché le formule che ho si riferiscono o a variabili aleatorie continue o a trasformazioni del tipo Y= a + bX.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto

[walter891]

mi sa che c'è qualche incongruenza nel testo: i numeri che hai scritto non hanno senso come parametri di una bernoulliana, il parametro giusto dovrebbe essere proprio $p$

comunque si tratta solo di fare qualche ragionamento con le formule che già conosci:
tu sai che $Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2$ e se noti che $E[Y]=E[X^2]$ puoi ricavarla usando media e varianza di $X$ (che trovi facilmente conoscendo $p$)

per la varianza invece si può fare così: $Var[Y]=Var[X^2]=E[X^4]-(E[X^2])^2$
ti resta da calcolare $E[X^4]=sum_(k=0)^1k^4P(X=k)=p$

[walterbianco1]

allora non era una mia impressione che ci fosse qualcosa di sbagliato nei parametri, ma l'esercizio dice proprio così.
nel caso sia $ p=1/3 $ pensavo di procedere così:

$ E(Y) = E(X^2) = 0^2*(1-1/3) + 1^2*1/3 = 1/3 $
$ var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = E (X^4) - [E(X^2)]^2 $

Il calcolo della media sarebbe giusto fatto così? Inoltre scusami ma non ho capito come ti sei ricavato quella sommatoria per $ E(X^4) $ potresti spiegarmelo?

[walter891]

si la media è corretta anche in questo modo, per la varianza la chiave è sempre quella perchè la formula si può generalizzare:
$E[X^n]=sum_k k^nP(X=k)$ che nel caso della binomiale equivale a $E[X^n]=0^n*P(X=0)+1^n*P(X=1)=1/3$