Esercizio su probabilità schiusura uova

[Gianant]

Salve, sono alle prese con questo esercizio: Una temperatura, T, di un’incubatrice è misurata in Celsius ed ha densità distribuita come una esponenziale di parametro 1/30.
Se T > 25 gradi, la probabilità che un uovo si schiuda `e 0.85, mentre
scende 0.6 se 20 < T≤ 25 e si riduce a 0.1 se T≤ 20.
150 uova vengono messe nell’ incubatrice e sia $ S_150 $ la v.a, che esprime il numero
di uova che si schiudono. Ogni uovo si schiude indipendentemente dagli altri

(a) Calcolare $ P(T>25), P(20
(b) Scrivere la densità di $ S_150 $

Soluzione
a) $ P(T>25)=e^(-25/30)=0,434 $ ; $ P(20 b) Ho pensato di determinare il numero di uova che si schiudono alle varie temperature calcolando le seguenti v.a:
-$ S_1: $ Uova che si schiudono per $ T>25=150*0.85=127.5 $
-$ S_2: $ Uova che si schiudono per $ 20 -$ S_3: $ Uova che si schiudono per $ T<=20=150*0,1=15 $

Però la somma dei tre valori è maggiore di 150 e qui ho il dubbio

Per quanto riguarda la probabilità associata alle singole v.a. ( indicando con $ S $ l'evento: l'uovo si schiude) la determino come:
$ P(S|T>25)*P(T>25)=0,85*0,434=0,369 $
$ P(S|20 $ P(S|T<=20)*P(T<=20)=0.1*0.486=0,0486 $

Però qui ho il secondo dubbio: le tre probabilità appena calcolate non dovrebbero dare come somma 1 ?

[Lo_zio_Tom]

$mathbb{P} [S|T] $ è una binomiale.

Noto questo, utilizzando il teorema delle probabilità totali...

[Gianant]

Vediamo se ho capito :

$ P(Sn=x)=((150),(x))*(0,8)^x*(0,2)^(150-x)*P(T>25)+((150),(x))*(0,6)^x*(0,4)^(150-x)*P(20
Cioè

$ P(Sn=x)=0,434*((150),(x))*(0,8)^x*(0,2)^(150-x)+0,079*((150),(x))*(0,6)^x*(0,4)^(150-x)+0,486*((150),(x))*(0,1)^x*(0,9)^(150-x) $

[Lo_zio_Tom]

pretty perfect!

solo un appunto: le 3 probabilità $0.079; 0.434; 0 486$ devi arrotondarle per bene perché la somma deve fare 1.

La pmf risultante è una distribuzione mixture

[Gianant]

Grazie mille come al solito