Esercizio su intervallo di confidenza
Il testo, preso dal Ross, recita così:
le capacità di 10 batterie sono risultate:
140 , 136 , 150 , 144 , 148 , 152 , 138 , 141 , 143 , 151 .
1) stima la varianza $sigma^2$ per la popolazione
2) calcola un intervallo di confidenza al 99% per $sigma^2$
3) trova un valore $v$ che permetta di dire col 90% di confidenza, che $sigma^2 < v$
Innanzitutto mi sono trovato $ bar(X) = 144.3 $.
Siccome stiamo parlando di una popolazione, la formula che ho applicato per trovare $sigma^2$ è stata: $ 1/n sum(x_i - bar(X))^2 $ . Giusto? Il valore che mi viene è $29.346$ (l'ho calcolato a mano)
Per l'intervallo di confidenza ho usato la formula $ bar(X) +- z_(alpha/2)sigma/sqrt(n) $. Ho un dubbio: siccome mi chiede di calcolare l'intervallo per $sigma^2$ devo fare la radice quadrata a $sigma$ nel calcolo dell'intervallo oppure lo lascio al quadrato?
L'ultimo punto non l'ho minimamente capito.
le capacità di 10 batterie sono risultate:
140 , 136 , 150 , 144 , 148 , 152 , 138 , 141 , 143 , 151 .
1) stima la varianza $sigma^2$ per la popolazione
2) calcola un intervallo di confidenza al 99% per $sigma^2$
3) trova un valore $v$ che permetta di dire col 90% di confidenza, che $sigma^2 < v$
Innanzitutto mi sono trovato $ bar(X) = 144.3 $.
Siccome stiamo parlando di una popolazione, la formula che ho applicato per trovare $sigma^2$ è stata: $ 1/n sum(x_i - bar(X))^2 $ . Giusto? Il valore che mi viene è $29.346$ (l'ho calcolato a mano)
Per l'intervallo di confidenza ho usato la formula $ bar(X) +- z_(alpha/2)sigma/sqrt(n) $. Ho un dubbio: siccome mi chiede di calcolare l'intervallo per $sigma^2$ devo fare la radice quadrata a $sigma$ nel calcolo dell'intervallo oppure lo lascio al quadrato?
L'ultimo punto non l'ho minimamente capito.
Risposte
no, non puoi usare le formule a casaccio....
Lo stimatore della varianza della popolazione è la varianza campionaria $S^2$, quella divisa per $(n-1)$, dato che è lo stimatore corretto....tu hai usato lo stimatore di massima verosimiglianza....va comunque bene
L'intervallo di confidenza che hai scritto tu è quello per la media di una normale con varianza nota....qui ti chiede l'intervallo di confidenza della varianza....è un'altra cosa
Il terzo punto scende direttamente dal secondo, una volta capito quale sia la giusta distribuzione ancillare da utilizzare....devi studiare di più
saluti
PS: immagino che il testo sottintenda che il modello è normale, altrimenti non si può risolvere....
Lo stimatore della varianza della popolazione è la varianza campionaria $S^2$, quella divisa per $(n-1)$, dato che è lo stimatore corretto....tu hai usato lo stimatore di massima verosimiglianza....va comunque bene
L'intervallo di confidenza che hai scritto tu è quello per la media di una normale con varianza nota....qui ti chiede l'intervallo di confidenza della varianza....è un'altra cosa
Il terzo punto scende direttamente dal secondo, una volta capito quale sia la giusta distribuzione ancillare da utilizzare....devi studiare di più
saluti
PS: immagino che il testo sottintenda che il modello è normale, altrimenti non si può risolvere....
Sul libro c'è scritto che per campioni "abbastanza grandi" non c'è molta differenza nell'utilizzare una o l'altra formula, se ho capito bene. Quindi, mi stai dicendo di utilizzare la formula della varianza campionaria e non quella della varianza. Giusto?
Mmmh, ok. L'intervallo di confidenza della varianza è quello con la chi-quadro al suo interno no? (impazzisco a scrivere tutta la formula, ti prego di passarmi questa cosa
)
Per il terzo punto io farei così: calcolare l'intervallo di confidenza per la varianza al 90%. Però poi mi blocco nel trovare $v$.
Edit: grazie per la risposta
Edit2: no, il testo è scritto così com'è. Ma comunque penso intenda che sia una Normale senza specificarlo.
Mmmh, ok. L'intervallo di confidenza della varianza è quello con la chi-quadro al suo interno no? (impazzisco a scrivere tutta la formula, ti prego di passarmi questa cosa
)Per il terzo punto io farei così: calcolare l'intervallo di confidenza per la varianza al 90%. Però poi mi blocco nel trovare $v$.
Edit: grazie per la risposta
Edit2: no, il testo è scritto così com'è. Ma comunque penso intenda che sia una Normale senza specificarlo.
Posto che il modello sia gaussiano si dimostra facilmente (sul forum l'ho fatta più volte) che
$(n-1)S^2/sigma^2~chi_((n-1))^2$
Noto questo fatto l'intervallo di confidenza scende automaticamente....e così anche il calcolo del terzo punto.
Con la funzione cerca trovi tutto sul forum
Ps: le formule le sto scrivendo col cellulare e non mi pare opera immane....
$(n-1)S^2/sigma^2~chi_((n-1))^2$
Noto questo fatto l'intervallo di confidenza scende automaticamente....e così anche il calcolo del terzo punto.
Con la funzione cerca trovi tutto sul forum
Ps: le formule le sto scrivendo col cellulare e non mi pare opera immane....
Il tempo di farlo e posto il ragionamento. Grazie.
D'estate nei week end vado sempre al mare.....ho una certa età ormai....
Quindi non so quando potrò guardarlo. Per l'intervallo di confidenza zero problemi..ne trovi a centinaia sul forum
Per l'ultimo devi fare così
$P[sigma^2
$P[sigma^2/((n-1)S^2)
$P[chi_((n-1))^2>((n-1)S^2)/v]=0.90$
con le tavole trovi il quantile e risolvi in $v$: è un intervallo di confidenza unilaterale; in pratica abbiamo trovato l'estremo superiore dell'intervallo precedente ma senza utilizzare le formule in modo mnemonico, ragionando....
Quindi non so quando potrò guardarlo. Per l'intervallo di confidenza zero problemi..ne trovi a centinaia sul forum
Per l'ultimo devi fare così
$P[sigma^2
$P[sigma^2/((n-1)S^2)
$P[chi_((n-1))^2>((n-1)S^2)/v]=0.90$
con le tavole trovi il quantile e risolvi in $v$: è un intervallo di confidenza unilaterale; in pratica abbiamo trovato l'estremo superiore dell'intervallo precedente ma senza utilizzare le formule in modo mnemonico, ragionando....
Boh, stando ai risultati che ho a disposizione sono completamente sballati. Starò sbagliando qualcosa.
$ (((n-1)S^2)/(chi_(alpha/2, n-1)), ((n-1)S^2)/chi_(1-alpha/2,n-1)) $
La prima mi viene $ chi_(0.005,9)=23.589 $ , la seconda $ chi_(0.995,9)=1.735 $ . $S^2=29.346$.
L'intervallo mi viene (secondo me) abbastanza sballato $(36.077, 490.5)$. Avrò commesso sicuramente qualche cavolata.
PS: non riesco a scrivere chi-quadro in formula, è sottointeso che abbia il quadrato all'apice.
PPS: ahahah, ti ringrazio comunque per il tempo che stai perdendo. Il fatto è che quando non capisco o non mi viene una cosa, finché non la risolvo, non sono in pace con me stesso.
$ (((n-1)S^2)/(chi_(alpha/2, n-1)), ((n-1)S^2)/chi_(1-alpha/2,n-1)) $
La prima mi viene $ chi_(0.005,9)=23.589 $ , la seconda $ chi_(0.995,9)=1.735 $ . $S^2=29.346$.
L'intervallo mi viene (secondo me) abbastanza sballato $(36.077, 490.5)$. Avrò commesso sicuramente qualche cavolata.
PS: non riesco a scrivere chi-quadro in formula, è sottointeso che abbia il quadrato all'apice.
PPS: ahahah, ti ringrazio comunque per il tempo che stai perdendo. Il fatto è che quando non capisco o non mi viene una cosa, finché non la risolvo, non sono in pace con me stesso.
Mi sono accorto ora dell'errore, ho scritto che $(n-1)$ è uguale a 29 e non a 9.
L'intervallo mi viene $(11.19, 152.22)$
L'intervallo mi viene $(11.19, 152.22)$
Non ho fatto i conti ma di certo hai fatto un altro errore: Puoi usare sia la varianza campionaria divisa per n che quella divisa per $(n-1)$ ma se usi quella divisa per n al numeratore ci devi mettere $nS^2$ in quanto la chi quadro è questa
$(Sigma(X_i-bar(X))^2)/sigma^2$
per non confondersi è meglio usare sempre lo stimatore non distorto: $S^2=1/(n-1) Sigma_i[X_i-bar(X)]^2$
Quindi l'intervallo di confidenza della varianza di una normale con media ignota può essere scritto indifferentemente nei modi seguenti:
$[(nS^2)/b;(nS^2)/a]$ oppure
$[((n-1)S^2)/b; ((n-1)S^2)/a]$
(dove $a,b$ sono i due quantili della $chi_((n-1))^2$) a seconda di che formula usi per la varianza campionaria. In genere si usa quella divisa per $(n-1)$ dato che è lo stimatore non distorto della varianza della popolazione.
.....poi che l'intervallo venga ampio non è scandaloso, è il livello di confidenza che è molto elevato....
$(Sigma(X_i-bar(X))^2)/sigma^2$
per non confondersi è meglio usare sempre lo stimatore non distorto: $S^2=1/(n-1) Sigma_i[X_i-bar(X)]^2$
Quindi l'intervallo di confidenza della varianza di una normale con media ignota può essere scritto indifferentemente nei modi seguenti:
$[(nS^2)/b;(nS^2)/a]$ oppure
$[((n-1)S^2)/b; ((n-1)S^2)/a]$
(dove $a,b$ sono i due quantili della $chi_((n-1))^2$) a seconda di che formula usi per la varianza campionaria. In genere si usa quella divisa per $(n-1)$ dato che è lo stimatore non distorto della varianza della popolazione.
.....poi che l'intervallo venga ampio non è scandaloso, è il livello di confidenza che è molto elevato....
Ti ringrazio per la preziosa dritta per quanto riguarda il calcolo della varianza 
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