Esercizio su funzione di probabilità
Ciao ragazzi, ho un problema sui miei appunti e non riesco capire se il mio ragionamento è corretto...mi controllate questo esercizio?
Siano X, Y il risultato del lancio di due dadi
1) calcolare E[X] e Var(X)
2) stabilire se ${1 <= X <= 3}$ e ${3<= X <= 4}$ sono indipendenti
3) determinare la funzione di probabilità di X+Y
alllora:
1) $E[X] = sum x_i * P(x_i)$ e, poichè $P(x_i) = 1/6$, $E[X] = 1/6(21) = 7/3$
$Var(X) = sum (x_i-E[X])^2 * P(x_i)$ ottengo $1/6(21-14) = 7/6$
2) dato che $P(A nn B) = P(A) * P(B)$ se i due eventi sono indipendenti, mi sono calcolato tutte queste probabilità
$P({1 <= X <= 3}) = 1/2$
$P({3 <= X <= 4}) = 1/3$
$P({1 <= X <= 3} nn {3 <= X <= 4}) = P(X=3) 1/6$
quindi $P(A) * P(B) = 1/6$, sono indip.
3) ora non so proprio come fare...indizi?
Siano X, Y il risultato del lancio di due dadi
1) calcolare E[X] e Var(X)
2) stabilire se ${1 <= X <= 3}$ e ${3<= X <= 4}$ sono indipendenti
3) determinare la funzione di probabilità di X+Y
alllora:
1) $E[X] = sum x_i * P(x_i)$ e, poichè $P(x_i) = 1/6$, $E[X] = 1/6(21) = 7/3$
$Var(X) = sum (x_i-E[X])^2 * P(x_i)$ ottengo $1/6(21-14) = 7/6$
2) dato che $P(A nn B) = P(A) * P(B)$ se i due eventi sono indipendenti, mi sono calcolato tutte queste probabilità
$P({1 <= X <= 3}) = 1/2$
$P({3 <= X <= 4}) = 1/3$
$P({1 <= X <= 3} nn {3 <= X <= 4}) = P(X=3) 1/6$
quindi $P(A) * P(B) = 1/6$, sono indip.
3) ora non so proprio come fare...indizi?
Risposte
io farei così:
considero l'evento [tex](X+Y=k)=\bigcup_j(X+Y=k,Y=j)[/tex] (con $j$ da 1 a 6) e calcolo la probabilità di quest'ultimo evento
edit: $k$ dovrebbe essere da 2 a 12
considero l'evento [tex](X+Y=k)=\bigcup_j(X+Y=k,Y=j)[/tex] (con $j$ da 1 a 6) e calcolo la probabilità di quest'ultimo evento
edit: $k$ dovrebbe essere da 2 a 12
esatto...ma non mi è ancora chiara una cosa...
Y=1 K={2, ..., 7}
Y=2 K={3, ..., 8}
Y=3 K={4, ..., 9}
Y=4 K={5, ..., 10}
Y=5 K={6, ..., 11}
Y=6 K={7, ..., 12}
P(K=2) = P(K=12) = 1/12
P(K=3) = P(K=11) = 2/12
P(K=4) = P(K=10) = 3/12
P(K=5) = P(K=9) = 4/12
P(K=6) = P(K=8) = 5/12
P(K=7) = 2/12 = 1/6
ma ora che si fa? Questa parte della probabilità non mi è molto chiara
Y=1 K={2, ..., 7}
Y=2 K={3, ..., 8}
Y=3 K={4, ..., 9}
Y=4 K={5, ..., 10}
Y=5 K={6, ..., 11}
Y=6 K={7, ..., 12}
P(K=2) = P(K=12) = 1/12
P(K=3) = P(K=11) = 2/12
P(K=4) = P(K=10) = 3/12
P(K=5) = P(K=9) = 4/12
P(K=6) = P(K=8) = 5/12
P(K=7) = 2/12 = 1/6
ma ora che si fa? Questa parte della probabilità non mi è molto chiara
[tex]P(X+Y=k)=\Sigma_j P(X+Y=k,Y=j)[/tex] $j$ da 1 a 6
[tex]=\Sigma_j P(X=k-j,Y=j)[/tex]
per l'indipendenza (che hai dimostrato esistere)
[tex]=\Sigma_j P(X=k-j) P(Y=j)[/tex]
per $k$ come prima
ma non sono sicurissimo che il procedimento porti a qualcosa...
[tex]=\Sigma_j P(X=k-j,Y=j)[/tex]
per l'indipendenza (che hai dimostrato esistere)
[tex]=\Sigma_j P(X=k-j) P(Y=j)[/tex]
per $k$ come prima
ma non sono sicurissimo che il procedimento porti a qualcosa...
il problema è che non riesco a capire il ragionamento ^__^
pa P(Y) è 1/6 ma la P(X = k-j) è differente per ogni caso, ok per i calcoli, ma il ragionamento che porta a ciò?
pa P(Y) è 1/6 ma la P(X = k-j) è differente per ogni caso, ok per i calcoli, ma il ragionamento che porta a ciò?
così hai $X$ e $Y$ separate, ed essendo distribuzioni discrete si devono fare sommatorie.
nel caso $X$ e $Y$ fossero state altre distribuzioni venivano fuori cose interessanti (per esempio se fossero state poissoniane, la v.a. $X+Y$
sarebbe stata anch'essa poissoniana).
mi è venuto in mente che si potrebbe calcolare tale probabilità per ogni $k$ ed ottenere la distribuzione corrispondente, ma non so se quello che ho detto può avere un senso.
nel caso $X$ e $Y$ fossero state altre distribuzioni venivano fuori cose interessanti (per esempio se fossero state poissoniane, la v.a. $X+Y$
sarebbe stata anch'essa poissoniana).
mi è venuto in mente che si potrebbe calcolare tale probabilità per ogni $k$ ed ottenere la distribuzione corrispondente, ma non so se quello che ho detto può avere un senso.
e come lo scopriamo? in ogni caso a me viene 4/9. Può essere?
l'esercizio ti chiede di calcolare una funzione di probabilità non una probabilità...
non so se il mio procedimento è corretto, ma per ogni $k$ proverei a calcolare la probabiltà dell'ultima formula scritta, per esempio
$k=2$
$P(X=1)P(Y=1)+P(X=0)P(Y=2)+P(X=-1)P(Y=3)+...$ (non le scrivo perché tutte nulle)
$=1/6*1/6+0+0+...=1/36$
$k=3$
$...$
ma ti ripeto che non sono sicuro del procedimento
alla fine si può controllare se può essere una funzione di probabilità sommandole per tutti i $k$ e vedendo cosa viene
non so se il mio procedimento è corretto, ma per ogni $k$ proverei a calcolare la probabiltà dell'ultima formula scritta, per esempio
$k=2$
$P(X=1)P(Y=1)+P(X=0)P(Y=2)+P(X=-1)P(Y=3)+...$ (non le scrivo perché tutte nulle)
$=1/6*1/6+0+0+...=1/36$
$k=3$
$...$
ma ti ripeto che non sono sicuro del procedimento
alla fine si può controllare se può essere una funzione di probabilità sommandole per tutti i $k$ e vedendo cosa viene
alla fine si fa prima a contare per quante combinazioni dei due dadi esce 2,3,4,...
per esempio essendo i casi possibili 36
2 esce solo con 1+1 quindi con probabilità $1/36$
3 esce con 1+2 oppure 2+1 quindi con probabilità $2/36$
e così via
per esempio essendo i casi possibili 36
2 esce solo con 1+1 quindi con probabilità $1/36$
3 esce con 1+2 oppure 2+1 quindi con probabilità $2/36$
e così via
è proprio questo il punto...non ho idea di come calcolare una funzione di probabilità
ho solo la definizione ma nessun esercizio di esemio...sul mio quaderno ho:
$PX(x_i) = P(X=x_i)$ con $x>=1$ e tale funzione è compresa tra 0 e 1
è corretto? ma, non avendo esempi di esercizi già fatti non so come fare per ricavarmi una funzione di probabilità frutto di somma di v.a
ho solo la definizione ma nessun esercizio di esemio...sul mio quaderno ho:
$PX(x_i) = P(X=x_i)$ con $x>=1$ e tale funzione è compresa tra 0 e 1
è corretto? ma, non avendo esempi di esercizi già fatti non so come fare per ricavarmi una funzione di probabilità frutto di somma di v.a
in generale se hai v.a. discrete il procedimento è sostanzialmente quello che ho scritto nei post precedenti (di solito cambiano gli estremi di $k$ e $j$ che possono essere anche $+\infty$)
se hai v.a. continue devi integrare la funzione densità di probabilità (sicuramente sugli appunti avrai la formula che lega $f$ funzione densità di probabilità con $F$ funzione di ripartizione, ma se ne è parlato anche in qualche post recente)
se hai v.a. continue devi integrare la funzione densità di probabilità (sicuramente sugli appunti avrai la formula che lega $f$ funzione densità di probabilità con $F$ funzione di ripartizione, ma se ne è parlato anche in qualche post recente)
ho trovato altri appunti che chiamano la funzione di ripartizione come funzione di probabilità....vediamo se così è corretto....
$F(X+Y<= x+y)$ assume:
$0$ se $X+Y<2$
$2/36$ se $2<=X+Y<4$ e $10<=X+Y<12$
$4/36$ se $4<=X+Y<6$ e $8<=X+Y<10$
$6/36$ se $6<=X+Y<8$
$1$ se $12<=X+Y$
è corretto?
$F(X+Y<= x+y)$ assume:
$0$ se $X+Y<2$
$2/36$ se $2<=X+Y<4$ e $10<=X+Y<12$
$4/36$ se $4<=X+Y<6$ e $8<=X+Y<10$
$6/36$ se $6<=X+Y<8$
$1$ se $12<=X+Y$
è corretto?
un conto è la funzione di probabilità, un conto quella di ripartizione
dovrebbe essere:
$p(x)=P(X=x)$
$F(x)=P(X \leq x)$
che nel caso discreto dovrebbe diventare $F(x)=\Sigma_((x_i \leq x)) p(x_i)$ con $p(x_i)$ funzione di probabilità
in pratica per trovare la $F$ relativa al valore $i$-esimo devi sommare le $p(x)$ fino a quella.
vedi esempio http://www.slideshare.net/maxbt/distribuzioni alla pagina 7 delle slide
dovrebbe essere:
$p(x)=P(X=x)$
$F(x)=P(X \leq x)$
che nel caso discreto dovrebbe diventare $F(x)=\Sigma_((x_i \leq x)) p(x_i)$ con $p(x_i)$ funzione di probabilità
in pratica per trovare la $F$ relativa al valore $i$-esimo devi sommare le $p(x)$ fino a quella.
vedi esempio http://www.slideshare.net/maxbt/distribuzioni alla pagina 7 delle slide
ah ok! grazie 1000 sei stato chiarissimo
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