Esercizio su Distribuzione Bivariata Congiunta
Salve! Utilizzo il forum da un po' come "problem solver" quando non so dove sbattere la testa, ma questa volta non sono riuscito a trovare una risposta al mio banale dubbio, quindi vi scrivo e ne approfitto per augurarvi un Buon Natale (sono messo proprio male per studiare Probabilità il giorno di natale, lo so 
).
Il problema è il seguente:
Sia $ (X, Y) $ una variabile casuale bivariata con componente marginale $ X ~ Bi(1, 1/4) $ (legge binomiale con indice $ n=1 $ e parametro $ p=1/4 $) e distribuzioni condizionate che sono binomiali $ Y|X = x ~ Bi(x+1, 1/2), x € Sx $ .
Si determini il supporto congiunto di $ (X, Y) $, il supporto marginale di Y, la funzione di probabilità marginale di Y.
a) ho iniziato con il definire il supporto $ Sx={0, 1} $ e con il calcolare la $ px(0) $ e la $ px(1) $ utilizzando la seguente formula: $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $, ottenendo $ 3/4 $ per x=0 e $ 1/4 $ per x=1. Nota: $ (n x) $ sta per il coefficente binomiale n su x).
b) ho definito poi il supporto per $ Y|X=0 ~ Bi(1, 1/2) $, ovvero $ Sy|x = {0,1} $ e il supporto per $ Y|X=1 ~ Bi(2, 1/2) $, ovvero $ Sy|x = {0,1, 2} $
c) qui iniziano i guai, o meglio, mi nasce un grandissimo dubbio. Utilizzando la formula di prima, $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $ , vado a calcolarmi $ Py|x=0 (0) $ e $ Py|x=0 (1) $ del primo supporto definito sopra (quindi quello che aveva n=1), e vengono entrambi $ 1/2 $.
Fino a qui dovrebbe essere giusto: faccio lo stesso con il secondo supporto (quello che ha 0, 1, 2), tenendo come n=2. Sostituisco nella formula $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $ e qui nasce il mio dubbio: nella parte $ (n-p) $ dovrei scrivere $ (2 - (1/2)) $ , che farebbe $ 3/2 $. Il prof invece scrive direttamente $ 1/2 $, come se la n sostituita fosse ancora 1 (cosa che non è perchè a inizio formula c'è il 2 sostituito al coefficente binomiale.
Sbaglio qualcosa io nel calcolo delle Py|x ?
Grazie anticipatamente, spero di aver scritto tutto chiaramente e correttamente. In caso contrario fatemelo sapere, ancora buone feste!
). Il problema è il seguente:
Sia $ (X, Y) $ una variabile casuale bivariata con componente marginale $ X ~ Bi(1, 1/4) $ (legge binomiale con indice $ n=1 $ e parametro $ p=1/4 $) e distribuzioni condizionate che sono binomiali $ Y|X = x ~ Bi(x+1, 1/2), x € Sx $ .
Si determini il supporto congiunto di $ (X, Y) $, il supporto marginale di Y, la funzione di probabilità marginale di Y.
a) ho iniziato con il definire il supporto $ Sx={0, 1} $ e con il calcolare la $ px(0) $ e la $ px(1) $ utilizzando la seguente formula: $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $, ottenendo $ 3/4 $ per x=0 e $ 1/4 $ per x=1. Nota: $ (n x) $ sta per il coefficente binomiale n su x).
b) ho definito poi il supporto per $ Y|X=0 ~ Bi(1, 1/2) $, ovvero $ Sy|x = {0,1} $ e il supporto per $ Y|X=1 ~ Bi(2, 1/2) $, ovvero $ Sy|x = {0,1, 2} $
c) qui iniziano i guai, o meglio, mi nasce un grandissimo dubbio. Utilizzando la formula di prima, $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $ , vado a calcolarmi $ Py|x=0 (0) $ e $ Py|x=0 (1) $ del primo supporto definito sopra (quindi quello che aveva n=1), e vengono entrambi $ 1/2 $.
Fino a qui dovrebbe essere giusto: faccio lo stesso con il secondo supporto (quello che ha 0, 1, 2), tenendo come n=2. Sostituisco nella formula $ (n x) * p^x * (n-p)^(n-x) $ e qui nasce il mio dubbio: nella parte $ (n-p) $ dovrei scrivere $ (2 - (1/2)) $ , che farebbe $ 3/2 $. Il prof invece scrive direttamente $ 1/2 $, come se la n sostituita fosse ancora 1 (cosa che non è perchè a inizio formula c'è il 2 sostituito al coefficente binomiale.
Sbaglio qualcosa io nel calcolo delle Py|x ?
Grazie anticipatamente, spero di aver scritto tutto chiaramente e correttamente. In caso contrario fatemelo sapere, ancora buone feste!
Risposte
easy problem.....
basta ricordare che $P(X,Y)=P(Y|X=x)P(X=x)$ ed esprimere i dati in forma tabellare per rispondere in un colpo solo a tutte le richieste della traccia...ed anche a quache domanda in più..
- la variabile X si legge nella prima ed ultima riga (supporto e probabilità, rispettivamente)
- la variabile Y si legge nella prima ed ultima colonna (supporto e valori di probabilità, rispettivamente)
- la variabile bivariata ha come supporto tutte le coppie $(X,Y)$ per i quali la corrispondente cella non è vuota....
cordiali saluti
basta ricordare che $P(X,Y)=P(Y|X=x)P(X=x)$ ed esprimere i dati in forma tabellare per rispondere in un colpo solo a tutte le richieste della traccia...ed anche a quache domanda in più..
- la variabile X si legge nella prima ed ultima riga (supporto e probabilità, rispettivamente)
- la variabile Y si legge nella prima ed ultima colonna (supporto e valori di probabilità, rispettivamente)
- la variabile bivariata ha come supporto tutte le coppie $(X,Y)$ per i quali la corrispondente cella non è vuota....
cordiali saluti
"tommik":
easy problem.....
basta ricordare che $P(X,Y)=P(Y|X=x)P(X=x)$ ed esprimere i dati in forma tabellare per rispondere in un colpo solo a tutte le richieste della traccia...ed anche a quache domanda in più..
- la variabile X si legge nella prima ed ultima riga (supporto e probabilità, rispettivamente)
- la variabile Y si legge nella prima ed ultima colonna (supporto e valori di probabilità, rispettivamente)
- la variabile bivariata ha come supporto tutte le coppie $(X,Y)$ per i quali la corrispondente cella non è vuota....
cordiali saluti
Grazie per la risposta!
Purtroppo sono in difficoltà con il calcolo di $P(Y|X=x)$ per gli x uguali a 1. Calcolando $P(1,0)$ ottengo $9/16$ perchè $Py|x=1(0)$ mi viene $9/4$ e non capisco cosa sbaglio.
Più precisamente io applico la seguente formula con $n=2$ e $p=1/2$ : $(n x)⋅(p^x)⋅(n−p)^(n−x)$, dove $(n x)$ è il coefficente binomiale di n su x. Avendo il Supporto di y/x $Sy/x={0, 1, 2}$, prendo appunto $n=2$ e ottengo $9/4$.
Cosa sbaglio?
non so cosa dirti...hai una marginale e l'altra variabile condizionata: per trovare la congiunta basta moltiplicare le probabilità...difficilmente si vedono esercizi così elementari...
Se $X=1$ la variabile condizionata è $Y|X=1~B(2;1/2)$ e quindi per trovare le probabilità congiunte basta moltiplicare le probabilità della binomiale (che sono ${1/4;1/2;1/4}$per $1/4$
se non è chiaro così, mi spiace.
PS: non è necessario citare tutta la mia risposta ogni volta.....
cordiali saluti
Se $X=1$ la variabile condizionata è $Y|X=1~B(2;1/2)$ e quindi per trovare le probabilità congiunte basta moltiplicare le probabilità della binomiale (che sono ${1/4;1/2;1/4}$per $1/4$
se non è chiaro così, mi spiace.
PS: non è necessario citare tutta la mia risposta ogni volta.....
cordiali saluti
Trovato l'inghippo! Sbagliavo nel calcolo della probabilità della binomiale! Ero convinto la formula fosse $ (n x)⋅(p^x)⋅(n−p)^(n−x) $, invece è $ (n x)⋅(p^x)⋅(1−p)^(n−x) $.
Adesso torna tutto, mi ero perso in un bicchier d'acqua! Grazie per la pazienza, ancora buone feste!
Adesso torna tutto, mi ero perso in un bicchier d'acqua! Grazie per la pazienza, ancora buone feste!
Grazie Ancora! Visto che ci sono ne approfitto per fare un'altra domanda: se avessi sempre $x~B(1;1/2)$, ma con $Y|X$ Uniforme Discreta $Y|X=x~Ud(1,2)$, cosa cambierebbe nello svolgimento dell'esercizio?
Dall'esercizio svolto vedo che $Sy|x = {1, 2}$ e non riesco a spiegarmi il perchè. Grazie!
Dall'esercizio svolto vedo che $Sy|x = {1, 2}$ e non riesco a spiegarmi il perchè. Grazie!
"tommik":
Perché in questo caso le variabili sono indipendenti
Quindi, per capire, se avessi $ Y|X=x~Ud(5,7) $ avrei $ Sy|x = {5, 6, 7} $ ?
piccolo up 
se avessi sempre $x~B(1;1/2)$, ma con $Y∣X$ Uniforme Discreta $Y∣X=x~Ud(1,2)$, cosa cambierebbe nello svolgimento dell'esercizio?
Grazie ancora1
se avessi sempre $x~B(1;1/2)$, ma con $Y∣X$ Uniforme Discreta $Y∣X=x~Ud(1,2)$, cosa cambierebbe nello svolgimento dell'esercizio?
Grazie ancora1
"ZombieBest":
[quote="tommik"]Perché in questo caso le variabili sono indipendenti
Quindi, per capire, se avessi $ Y|X=x~Ud(5,7) $ avrei $ Sy|x = {5, 6, 7} $ ?[/quote]
E questo ragionamento è quindi corretto? Perché ancora non ho capito come trovare $ Sy|x $ quando le variabili sono indipendenti
Grazie
Comunque grazie per l'aiuto. Consigli qualche link/dispensa in particolare per questo argomento?
va bene qualunque testo di probabilità elementare....oltretutto in questa stanza ci sono decine e decine di esercizi su questo argomento...basta solo cercare...
ma ti stai perdendo in un bicchier d'acqua (vuoto)....
normalmente, $f(x|y)$ è una funzione che dipende dalla variabile che subordina.....
ad esempio...$f(x|y)=1/y I_((0;y))(x)$
in questo caso, la variabile condizionata è una uniforme continua con parametro che varia in base ad un'altra variabile...y.
se le variabili sono INDIPENDENTI significa che $f(x)=f(x|y)$....e quindi non capisco il problema....ù
il testo ti dice: la variabile condizionata è questa: $f(x|y)=1/3$, uniforme in ${1;2;3}$
che ragionamenti vuoi fare qui??????? ti dice tutto la traccia,.....la variabile non dipende più dalla y......
ma ti stai perdendo in un bicchier d'acqua (vuoto)....
normalmente, $f(x|y)$ è una funzione che dipende dalla variabile che subordina.....
ad esempio...$f(x|y)=1/y I_((0;y))(x)$
in questo caso, la variabile condizionata è una uniforme continua con parametro che varia in base ad un'altra variabile...y.
se le variabili sono INDIPENDENTI significa che $f(x)=f(x|y)$....e quindi non capisco il problema....ù
il testo ti dice: la variabile condizionata è questa: $f(x|y)=1/3$, uniforme in ${1;2;3}$
che ragionamenti vuoi fare qui??????? ti dice tutto la traccia,.....la variabile non dipende più dalla y......
Quindi, essendo le variabili indipendenti, una volta calcolata la $px(0)$ questa sarà uguale alla $py|x=0(1)$ e alla $py|x=0(2)$, basandomi sempre sull'esercizio d'esempio in cui $Y|X = x~Ud(1,2)$, e stessa cosa per la $px(1)$. Sbaglio?
Comunque ora sto andando alla ricerca di esercizi simili
Grazie ancora
Comunque ora sto andando alla ricerca di esercizi simili
Grazie ancora
"ZombieBest":
piccolo up
se avessi sempre $x~B(1;1/2)$, ma con $Y∣X$ Uniforme Discreta $Y∣X=x~Ud(1,2)$, cosa cambierebbe nello svolgimento dell'esercizio?
Grazie ancora1
comunque il tuo esercizio si risolve così:
e, come puoi agevolmente notare, anche se del tutto pleonastico,
$f(y)=f(y|X=x)$
scusa se a volte sono un po' succinto e dò troppe cose per scontate, ma questa stanza è di solito frequentata da studenti universitari, e di conseguenza si presuppone già una certa conoscenza degli argomenti
cordiali saluti
Ora è tutto chiaro, grazie e buona serata
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo