Esercizio stimatori di massima verosomiglianza

[GioMGSV]

Un macchinario produce tondini di metallo il cui raggio (R) è una variabile casuale distribuita in
modo normale con varianza σ^2R
. Considerando un campione di dimensione n, sia X (media
campionaria) lo stimatore di massima verosimiglianza del raggio medio dei tondini.
1) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di A = area media dei tondini, legata
al raggio medio dalla seguente relazione: A=πµ2
;
2) Verificare se lo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto.
(Suggerimento: per la soluzione del primo punto tenere conto della proprietà di invarianza degli
stimatori ottenuti con il metodo della massima verosimiglianza)

[Lo_zio_Tom]

1) dal testo sappiamo che

$hat(mu)_(R)=bar(x)$

la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza afferma che, se $hat(theta)$ è lo stimatore più verosimile per $theta$ allora $g(hat(theta))$ è lo stimatore più verosimile per $g(theta)$. Di conseguenza, l'area dei tondini

$A=pi mu_(R)^2$ verrà stimata con $hat(A)=pi bar(x)^2$

2) gli stimatori di massima verosimiglianza sono asintoticamente non distorti e consistenti... Se vogliamo verificarlo, basta calcolare il valore atteso dello stimatore, ricordando che:

dalle proprietà del campionamento casuale sappiamo che

$E(bar(x))=mu_(R)$

$V(bar(x))=sigma_(R)^2/n$

ed inotre, $V(X)=E(X^2)-E^2(X)$

quindi otteniamo

$E(hat(A))=E(pibar(x)^2)=piE(bar(x)^2)=pi(sigma_(R)^2/n+mu_(R)^2)=pimu_(R)^2+(pisigma_(R)^2)/n$

che evidentemente è distorto ma asintoticamente corretto dato che $lim_(n->oo)E(hat(A))=pimu_(R)^2=A$