Esercizio stima di massima verosimiglianza
La variabile casuale X è descritta dalla seguente densità di probabilità:
$f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < x <= 1 + \theta , text{per}, 3 <= \theta <= 9$
$f(x; \theta) = 0, text{altrove}$
Stimare con il metodo della massima verosimiglianza, il parametro $\theta$ sulla base di un campione di ampiezza $n=2$, nel quale è stato rilevato il valore $x_1 = 6$.
Io ho svolto così:
$L(x; \theta) = \prod_{i=1}^N 1/ \theta$
$ = ln \prod_{i=1}^N 1/ \theta $
$ = \sum_{i=1}^N ln (1/ \theta) $
$ (dl(x; \theta))/ (d \theta) = \sum_{i=1}^N (1/(1/ \theta)) * (1/ \theta^2) = 0
$ = \sum_{i=1}^N (1/ \theta) = 0 $
ma poi mi si annulla il parametro mi diventa...0 !?!?
Sto sbagliando qualche passaggio matematico.. o il ragionamento?
$f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < x <= 1 + \theta , text{per}, 3 <= \theta <= 9$
$f(x; \theta) = 0, text{altrove}$
Stimare con il metodo della massima verosimiglianza, il parametro $\theta$ sulla base di un campione di ampiezza $n=2$, nel quale è stato rilevato il valore $x_1 = 6$.
Io ho svolto così:
$L(x; \theta) = \prod_{i=1}^N 1/ \theta$
$ = ln \prod_{i=1}^N 1/ \theta $
$ = \sum_{i=1}^N ln (1/ \theta) $
$ (dl(x; \theta))/ (d \theta) = \sum_{i=1}^N (1/(1/ \theta)) * (1/ \theta^2) = 0
$ = \sum_{i=1}^N (1/ \theta) = 0 $
ma poi mi si annulla il parametro mi diventa...0 !?!?
Sto sbagliando qualche passaggio matematico.. o il ragionamento?
Risposte
"Balengs":
sulla base di un campione di ampiezza $n=2$, nel quale è stato rilevato il valore $x_1 = 6$.
Sbaglio, o manca $x_2$ ? (oppure in ambedue le osservazioni è stato osservato lo stesso valore ?)
"Balengs":
$ = \sum_{i=1}^N ln (1/ \theta) $
$ (dl(x; \theta))/ (d \theta) = \sum_{i=1}^N (1/(1/ \theta)) * (1/ \theta^2) = 0
La derivata uguale a zero è una condizione necessaria di massimo locale.
Nel tuo caso però mi sembra che la verosimiglianza $L$ (ovvero il suo logaritmo $logL$) non abbia un massimo locale.
Prova a ragionare sul massimo assoluto, senza far uso della derivata.
Nell'esercizio non è specificato $x_2$.
Penso che il parametro $\theta$ da me cercato sia $\theta = 5$ in quanto la funzione $ 1/ \theta$ è inversamente proporzionale all'aumentare di $\theta$.
Lo zero non rientra nel dominio ma posso considerare il valore più vicino allo zero che fa parte del dominio.
Quindi dovrei avere
$f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < x <= 1 + \theta , text{per}, 3 <= \theta <= 9$ --> $f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < 6 <= 1 + 5, text{per}, 3 <= 5 <= 9$
$f(x; \theta) = 0, text{altrove}$
Sto dando i numeri...?
Penso che il parametro $\theta$ da me cercato sia $\theta = 5$ in quanto la funzione $ 1/ \theta$ è inversamente proporzionale all'aumentare di $\theta$.
Lo zero non rientra nel dominio ma posso considerare il valore più vicino allo zero che fa parte del dominio.
Quindi dovrei avere
$f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < x <= 1 + \theta , text{per}, 3 <= \theta <= 9$ --> $f(x; \theta) = 1/ \theta text{con}, 1 < 6 <= 1 + 5, text{per}, 3 <= 5 <= 9$
$f(x; \theta) = 0, text{altrove}$
Sto dando i numeri...?
Son d'accordo con te.
La verosimiglianza viene $L=1/theta^2$ ed è massima per $theta$ minimo, con i vincoli $3<=theta<=9$ e $1theta>=5$ (tenendo conto di $x_1=6$)
Quindi $theta=5$ sembra anche a me la stima richiesta.
La verosimiglianza viene $L=1/theta^2$ ed è massima per $theta$ minimo, con i vincoli $3<=theta<=9$ e $1
Quindi $theta=5$ sembra anche a me la stima richiesta.
Grazie per l'aiuto.
A presto
A presto
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