Esercizio statistica sulla varianza
l'esercizio mi chiede di trovare la varianza di una v.a. che ha :
f(x)=((X^m)/m!)*(e^-x)
sapendo che la media è uguale a
E[x]=m+1
e che x>0
io ho applicato semplicemente la formula generale per trovare la varianza di una v.a. continua
Var[x]= integrale tra 0 e infinito di [x-E[x]]^2 )* f(x) dx ( scusate ma non ho capito come inserire l'integrale )
di conseguanza svilluppando il quadrato vegono 3 integrali i quali sono moltiplicati per f(x) . come si possono risolvono questi 3 integrali? io ho pensato,di risolverli applicando a ognuno di loro un integrazione per parti almeno 2 volte ma viene un qlc di molto lungo e laborioso , la mia domanda è se c'è qlc altro medoto per trovare la variana o per risolvere gli integrali .
f(x)=((X^m)/m!)*(e^-x)
sapendo che la media è uguale a
E[x]=m+1
e che x>0
io ho applicato semplicemente la formula generale per trovare la varianza di una v.a. continua
Var[x]= integrale tra 0 e infinito di [x-E[x]]^2 )* f(x) dx ( scusate ma non ho capito come inserire l'integrale )
di conseguanza svilluppando il quadrato vegono 3 integrali i quali sono moltiplicati per f(x) . come si possono risolvono questi 3 integrali? io ho pensato,di risolverli applicando a ognuno di loro un integrazione per parti almeno 2 volte ma viene un qlc di molto lungo e laborioso , la mia domanda è se c'è qlc altro medoto per trovare la variana o per risolvere gli integrali .
Risposte
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{x^m}{m!} e^{-x} (x-m)^2 dx \)
Puoi trovare magari una formula recursiva per
\(\displaystyle \int_0^\infty x^m e^{-x} dx \)
Anche la formula della trasformata di Laplace di \(\displaystyle x^m \) può aiutarti.
Puoi trovare magari una formula recursiva per
\(\displaystyle \int_0^\infty x^m e^{-x} dx \)
Anche la formula della trasformata di Laplace di \(\displaystyle x^m \) può aiutarti.
mica è possibile postare qlc spigazione sulla trasformata di laplace? come applicarla nel mio caso e cos'è? xke nel mio piano di studi non l'ho mai incotrata =(
Definizione:
\(\displaystyle \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt \)
Puoi trovare in questa tavola
http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/didatti ... _table.pdf
che
\(\displaystyle \mathcal{L} \left\{t^m\right\}(s) =\int_{0}^{+\infty} e^{-st} t^m\,dt=\frac{m!}{s^{m+1}} \)
Se s=1, alora hai
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^m\,dt=m! \)
\(\displaystyle \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt \)
Puoi trovare in questa tavola
http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/didatti ... _table.pdf
che
\(\displaystyle \mathcal{L} \left\{t^m\right\}(s) =\int_{0}^{+\infty} e^{-st} t^m\,dt=\frac{m!}{s^{m+1}} \)
Se s=1, alora hai
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^m\,dt=m! \)
Altra possibilità è usare le proprietà della funzione gamma
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Gamma
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Gamma
grazie mille, ho provato a farlo con la trasformata di Laplace e ci ho messo 2 secondi
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