Esercizio (semplice) su lancio di monete e teorema di bayes
Riporto la traccia per completezza e poi vi dico quello che ho fatto e dove mi inceppo.
Si lancia per 5 volte una moneta truccata (la probabilità che esca testa è 1/3). Si considerino gli eventi:
A= "escono esattamente 3 teste", B="nel primo lancio esce testa". Calcolare p(A) e p(B). Determinare la probabilità che si verifichi A sapemdp che si è verificato B.
Per quanto riguarda p(A) ho fatto con la regola delle disposizioni:
$ P(A)=( (5), (3) ) ( (1), (3) )^3 ( (2), (3) ) ^2 = 40/243=0,16 $
Per quanto riguarda p(B) ovviamente si ha:
$ P(B)= 1/3= 0,33 $
Per quanto ora riguarda la seconda domanda devo applicare la legge di bayes:
$ P(A /B)= (P(A))/(P(B))P(B/A) $
il problema sorge con B/A, ovvero condizionare la probabilità che nel primo lancio esca testa sapendo che ci sono 3 teste. Io ho pensato che essendo gli eventi indipendenti la probabilità rimanga 1/3, ma il risultato poi è strano, perchè mi viene la metà di P(A) quando, a naso, direi che deve venire più alto. Potete indirizzarmi almeno su dove sbaglio?
Si lancia per 5 volte una moneta truccata (la probabilità che esca testa è 1/3). Si considerino gli eventi:
A= "escono esattamente 3 teste", B="nel primo lancio esce testa". Calcolare p(A) e p(B). Determinare la probabilità che si verifichi A sapemdp che si è verificato B.
Per quanto riguarda p(A) ho fatto con la regola delle disposizioni:
$ P(A)=( (5), (3) ) ( (1), (3) )^3 ( (2), (3) ) ^2 = 40/243=0,16 $
Per quanto riguarda p(B) ovviamente si ha:
$ P(B)= 1/3= 0,33 $
Per quanto ora riguarda la seconda domanda devo applicare la legge di bayes:
$ P(A /B)= (P(A))/(P(B))P(B/A) $
il problema sorge con B/A, ovvero condizionare la probabilità che nel primo lancio esca testa sapendo che ci sono 3 teste. Io ho pensato che essendo gli eventi indipendenti la probabilità rimanga 1/3, ma il risultato poi è strano, perchè mi viene la metà di P(A) quando, a naso, direi che deve venire più alto. Potete indirizzarmi almeno su dove sbaglio?
Risposte
lo spazio campionario lo visualizzo, però non essendo gli eventi equiprobabili non so come agire. Per quanto riguarda la probabilià condizionata dici la seguente: $ P(B/A)= (P(BnnA))/(P(A))=(P(A)*P(B))/(P(A))=P(B) $
per l'indipendenza degli eventi?
per l'indipendenza degli eventi?
ecco una parte dello spazio campionario
da cui puoi trarre tutte le conclusioni. Il fatto che gli eventi non siano equiprobabili non ti interessa....per ogni evento ne calcolerai la probabilità...ma qui gli eventi della tabella che ti ho postato sono tutti equiprobabili....
tutti con probabilità $(1/3)^3\cdot(2/3)^2~=0.016$
La tua probabiltà congiunta è la somma della probabiltà degli eventi 2-3-4-8-9-10 ovvero $6\cdot0.016~=0.1$
...quindi in definitiva ottieni
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))=(2/3)^2(1/3)^3\cdot6\cdot3~=0.30$
da cui puoi trarre tutte le conclusioni. Il fatto che gli eventi non siano equiprobabili non ti interessa....per ogni evento ne calcolerai la probabilità...ma qui gli eventi della tabella che ti ho postato sono tutti equiprobabili....
tutti con probabilità $(1/3)^3\cdot(2/3)^2~=0.016$
La tua probabiltà congiunta è la somma della probabiltà degli eventi 2-3-4-8-9-10 ovvero $6\cdot0.016~=0.1$
...quindi in definitiva ottieni
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))=(2/3)^2(1/3)^3\cdot6\cdot3~=0.30$
ahhh capito!! è che io lo spazio campionario pensavo lo potessi vedere solo quando la probsabilitò di testa e croce sono entrambe 1/2, mentre qui non ne ero sicuro perchè non usciranno con la stessa frequenza per poter scrivere una sorta di tabella della verità. Grazie mille! 
scusa non ho capito come hai fatto...io direi che la probabiliè che si verifichi B|A (in accordo alla legge di bayes) accade 6 volte su 10 da moltiplicare per 1/3 alla seconda e 2/3 alla terza...o sbaglio? poi il risultato va moltiplicato per il rapporto tra le probabilità di A e B
ti ho messo la tabella che è un estratto dello spazio campionario del lancio di 5 monete.
Precisamente sono tutti i 10 eventi per i quali abbiamo 3T e 2C.
Ogni evento di questi è equiprobabile con probabilità pari a $(2/3)^2\cdot(1/3)^3~=0.016$
la probabilità di $P(A nn B)$ che ci serve per il calcolo della probabilità condizionata è la probabilità di lanciare 5 volte la moneta, osservare 3 teste ma con il primo risultato testa.....ovvero la somma della probabilità degli eventi che ti ho indicato prima: $#{2-3-4-8-9-10}$
La somma di tali probabilità (sono tutti equiprobabili) è $6\cdot0.016~=0.1$
ora possiamo applicare il teorema di bayes
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))=(0.1)/(1/3)=0.3$
Precisamente sono tutti i 10 eventi per i quali abbiamo 3T e 2C.
Ogni evento di questi è equiprobabile con probabilità pari a $(2/3)^2\cdot(1/3)^3~=0.016$
la probabilità di $P(A nn B)$ che ci serve per il calcolo della probabilità condizionata è la probabilità di lanciare 5 volte la moneta, osservare 3 teste ma con il primo risultato testa.....ovvero la somma della probabilità degli eventi che ti ho indicato prima: $#{2-3-4-8-9-10}$
La somma di tali probabilità (sono tutti equiprobabili) è $6\cdot0.016~=0.1$
ora possiamo applicare il teorema di bayes
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))=(0.1)/(1/3)=0.3$
mmm...capito. E' che quella che hai scritto tu io la intendo come definizione di probabilità condizionata e basta..poi da questa discende bayes. Usiamo differenti notazioni, perciò non capivo
no ho capito come hai fatto, ti ringrazio molto... . Io stavo procedendo proprio in modo diverso, ma ovviamente questo è nettamente più semplice. Mi stavo incartando perchè volevo trovare la probabilià condizionata inversa in modo da poter applicare bayes, ma non porta a nulla (infatti si applica solo quando viene forrnita l'inversa credo haha). Grazie mille, ancora
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