Esercizio retta di regressione lineare

[valeee931]

Salve ragazzi di nuovo mi ritrovo in un'esercizio d'esame che in questi giorni ho provato a fare ma non riesco a capire se è giusto l'impostazione:
Siano \(\displaystyle X,Y,Z \) tre v.a. indipendenti tutte distribuite secondo una Poisson di parametro \(\displaystyle λ=3 \).
Calcolare la retta di regressione lineare di \(\displaystyle Y+Z \) su \(\displaystyle X+Y \).

Allora secondo la mia ipotesi è :
Sappiamo che la retta di regressione lineare è della forma \(\displaystyle y=ax+b \) dove \(\displaystyle a= cov(X,Y)/var(X.Y) \)
e \(\displaystyle b=E(Y)-a * E(X) \) ora nel nostro caso poniamo \(\displaystyle K = X + Y \) e \(\displaystyle H =Y + Z \) per cui per calcolare \(\displaystyle a \) ho bisogno della covarianza tra \(\displaystyle K \) e \(\displaystyle H \) per cui \(\displaystyle cov(K,H) = E(KH) - E(H) * E(K) \) ma essendo v.a. indipendenti mi risulta che \(\displaystyle cov(K,H)=E(K) * E(H) - E(H) * E(K) =0 \) e da quì non riesco più ad andare avanti per calcolarmi la \(\displaystyle a \) e di conseguenza la \(\displaystyle b \)..avreste qualche suggerimento o aiuto nello svolgere questo esercizio? vi ringrazio tutti in anticipo!

[cenzo1]

H e K non sono indipendenti, in quanto condividono la v.a. Y

Per una nota proprietà della covarianza:
$cov(X+Y,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z)+cov(Y,Y)+cov(Y,Z)=0+0+var(Y)+0=3$