Esercizio Probabilità Test formato da N domande
Buongiorno a tutti spero che qualcuno mi aiuto a capire questo esercizio:
Uno studente deve svolgere un test formato da n domande con risposta vero/falso.
La probabilità che risponda esatto a ciascuna domanda e' del 40%
Determinare n in modo tale che la probabilità che lo studente risponda in modo esatto alla maggioranza delle domande sia minore del 10%.
Le cose che non capisco e' principalmente quello che chiede l'esercizio mi spiego meglio:
So che Sn ~ Bin(n,0,4) Bin e' una binomiale quindi quello che chiede l'esercizio e' per caso P[Sn>n/2]<0,1 dove n/2 e' appunto il 50% delle domande e 0,1 sarebbe il 10%.
Spero che qualcuno mi possa aiutare sono molto confuso
Uno studente deve svolgere un test formato da n domande con risposta vero/falso.
La probabilità che risponda esatto a ciascuna domanda e' del 40%
Determinare n in modo tale che la probabilità che lo studente risponda in modo esatto alla maggioranza delle domande sia minore del 10%.
Le cose che non capisco e' principalmente quello che chiede l'esercizio mi spiego meglio:
So che Sn ~ Bin(n,0,4) Bin e' una binomiale quindi quello che chiede l'esercizio e' per caso P[Sn>n/2]<0,1 dove n/2 e' appunto il 50% delle domande e 0,1 sarebbe il 10%.
Spero che qualcuno mi possa aiutare sono molto confuso
Risposte
il tuo ragionamento mi sembra corretto, di fatto tu vuoi calcolare
$ argmin_n 1-P(Sn<=n/2)<0.1$
Ragionevolmente considera prima $n$ "piccoli: la probabilità che su due estrazioni almeno una sia "esatta" (ovvero il 50% delle risposte è giusta) è sicuramente più alta che per $n$ grande (in cui sai che la frequenza dei successi in infiniti esperimenti sarà proprio 40% e quindi avrai una probabilità molto bassa di averne il 50%).
Ho fatto questo grafico sperando che possa mostrarti quello che ti dicevo in precedenza, mostrando anche che la prima soluzione è $n=30$
Cosa ne pensi? Spero che qualcuno possa confermare
$ argmin_n 1-P(Sn<=n/2)<0.1$
Ragionevolmente considera prima $n$ "piccoli: la probabilità che su due estrazioni almeno una sia "esatta" (ovvero il 50% delle risposte è giusta) è sicuramente più alta che per $n$ grande (in cui sai che la frequenza dei successi in infiniti esperimenti sarà proprio 40% e quindi avrai una probabilità molto bassa di averne il 50%).
Ho fatto questo grafico sperando che possa mostrarti quello che ti dicevo in precedenza, mostrando anche che la prima soluzione è $n=30$
Cosa ne pensi? Spero che qualcuno possa confermare
Grazie della risposta però n a me viene diverso volevo capire se il mio ragionamento e' sbagliato.
Io ho pensato in questa maniera ditemi se ho fatto errori,
come hai fatto tu :
$ P(Sn>n/2)=1-P(Sn<=n/2) <0,1 $
Poi ho ragionato in questa maniera standarizzando:
$ P(X_1+X_2+...<=n/2)= P(Z <= (n/2 - E(S_n))/sqrt(VAR(S_N))) $
dove :
Z e una normale di (0,1)
$ E[S_n]=n*2/5 $
$ Var[S_n]=n*2/5*3/5=np(1-p) $
con i passaggi
$ => (n/10) * (5/sqrt(6n)) => n/(2 * sqrt(n)*sqrt(6) ) $
ma $ => n/sqrt(n)=sqrt(n) $
quindi
$-Phi (sqrt(n)/(sqrt(6)*2))<0,1-1 $
quindi poi ho fatto $ Phi (sqrt(n)/(sqrt(6)*2))>0,9 $
Apllicando il quantile viene :
$ Phi _(0,9)=1,29 $
quindi $ z>1,29 => z=sqrt(n)/(sqrt(6)*2) $
$ sqrt(n)>1,29*sqrt(6)*2 => n>39,9384 $
Spero di essere stato chiaro dimmi solo se ho fatto errori
Io ho pensato in questa maniera ditemi se ho fatto errori,
come hai fatto tu :
$ P(Sn>n/2)=1-P(Sn<=n/2) <0,1 $
Poi ho ragionato in questa maniera standarizzando:
$ P(X_1+X_2+...<=n/2)= P(Z <= (n/2 - E(S_n))/sqrt(VAR(S_N))) $
dove :
Z e una normale di (0,1)
$ E[S_n]=n*2/5 $
$ Var[S_n]=n*2/5*3/5=np(1-p) $
con i passaggi
$ => (n/10) * (5/sqrt(6n)) => n/(2 * sqrt(n)*sqrt(6) ) $
ma $ => n/sqrt(n)=sqrt(n) $
quindi
$-Phi (sqrt(n)/(sqrt(6)*2))<0,1-1 $
quindi poi ho fatto $ Phi (sqrt(n)/(sqrt(6)*2))>0,9 $
Apllicando il quantile viene :
$ Phi _(0,9)=1,29 $
quindi $ z>1,29 => z=sqrt(n)/(sqrt(6)*2) $
$ sqrt(n)>1,29*sqrt(6)*2 => n>39,9384 $
Spero di essere stato chiaro dimmi solo se ho fatto errori
Ho rifatto i tuoi conti e mi ci ritrovo.
Tuttavia tieni conto che si tratta di una approssimazione: la binomiale tende a distribuirsi come una normale standard per ${n\rightarrow \infty}$.
Questo dovrebbe essere il motivo per cui c'è una discrepanza anche abbastanza notevole tra i nostri risultati. Per convincerti calcola proprio ls CDF della binomiale
$$F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}$$
con $p=0.4$, prima $k=15 ; n = 30$ e poi $k=20 ; n = 40$.
Qui il risultato
$k=15$: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-Sum[Binomial[30%2C+i]*0.4^i*%281+-+0.4%29^%2830+-+i%29%2C+{i%2C+0%2C+15}]%2F%2FN
$k=20$: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-Sum[Binomial[40%2C+i]*0.4^i*%281+-+0.4%29^%2840+-+i%29%2C+{i%2C+0%2C+20}]%2F%2FN
In conclusione la tua soluzione è corretta, ma non è $argmin$!
Tuttavia tieni conto che si tratta di una approssimazione: la binomiale tende a distribuirsi come una normale standard per ${n\rightarrow \infty}$.
Questo dovrebbe essere il motivo per cui c'è una discrepanza anche abbastanza notevole tra i nostri risultati. Per convincerti calcola proprio ls CDF della binomiale
$$F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}$$
con $p=0.4$, prima $k=15 ; n = 30$ e poi $k=20 ; n = 40$.
Qui il risultato
$k=15$: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-Sum[Binomial[30%2C+i]*0.4^i*%281+-+0.4%29^%2830+-+i%29%2C+{i%2C+0%2C+15}]%2F%2FN
$k=20$: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-Sum[Binomial[40%2C+i]*0.4^i*%281+-+0.4%29^%2840+-+i%29%2C+{i%2C+0%2C+20}]%2F%2FN
In conclusione la tua soluzione è corretta, ma non è $argmin$!
Mi torna direi che e' perfetto grazie mille mi sei stato di enorme aiuto 
Di nulla
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