Esercizio probabilità semisvolto

[vinci931]

Un vivaio produce piantine che nel 10% dei casi sono malate. Tanto le piantine sane (S) quanto quelle malate hanno un tempo di vita aleatorio esponenziale, le prime con media 150 giorni, le seconde con media 15 giorni.
Per migliorare la qualità del servizio, le piantine vengono trattenute nel vivaio per 20 giorni e sono quelle che sopravvivono vengono consegnate.
a) Calcolare la probabilità che una piantina malata venga venduta
b) Calcolare la probabilità che una piantina che venga venduta sia malata
c) Calcolare la funzione densità di probabilità del tempo residuo di vita (quello dopo i 20 giorni) di una piantina malata sopravvissuta

$P("piantina malata")=P(M)=0.10$
$P("piantina sana")=P(barM)=0.90$

$T|M ~ Exp(lambda_1)$ con $lambda_(1)^(-1)=15$
$T|barM ~ Exp(lambda_1)$ con $lambda_(2)^(-1)=150$
Inoltre so che la piantina viene messa in commercio solo se supera il tempo soglia $t_S=20$

Il primo punto chiede (se ho capito bene) la probabilità che una piantina è venduta, sapendo che essa è malata quindi:
$P(A)=P("venduta"|"malata")=P(T>t_S|M)=1-P(T<=t_S|M)$
dove
$P(T<=t_S|M)=F_(T|M)(t)=int_(0)^(t_S) lambda_(1)e^(-lambda_(1)x)dx=1-e^(-20/15)$

Quindi:
$P(A)=P(T>t_S|M)=e^(-20/15)$


Il secondo punto (sempre fatto eccezione eventuali errori :S) dovrebbe essere
$P(B)=P("malata"|"venduta")=P(M|T>t_S)=(P(M)P(T>t_(S)|M))/(P(T>t_S))$

dove:
$P(T>t_S)=P(M)P(T>t_S|M)+P(barM)P(T>t_S|barM)=$
$=P(M)[1-P(T<=t_S)]+P(barM)[1-P(T<=t_s)]=$
$=0.10e^(-20/15)+0.90e^(-20/150)~=0.813$

In conclusione
$P(B)=P(M|T>t_S)=(0.10*e^(-20/15))/(0.813)~=0.03$
Corretto fino a qui??

In che modo procedo con il calcolo del punto c??
Grazie

[Lo_zio_Tom]

A e B corretti. (per la precisione a me la probabilità di vendere una piantina viene 0.814 e non 0.813)

Il C è una semplice distribuzione condizionata



$F(x)=(int_(20)^(x)1/15 e^(-t/15)dt)/(P(X>=20))=e^(20/15)[-e^(-t/15)]_(20)^(x)=1-e^((20-x)/15)$

Questa è la Funzione di Distribuzione....la densità la trovi facendone la derivata (ma è un calcolo inutile, quando hai la distribuzione sei a posto)

nota che tutte le proprietà della F sono soddisfatte:

$F(-oo)=F(20)=0$

$F(+oo)=1$

$(dF)/(dx)>=0 AAx$

[vinci931]

Grazie, sempre gentilissimo