Esercizio probabilità legge esponenziale

[gemellina90]

Ecco un altro esercizio:
Un impianto si guasta in maniera random in un intervallo di tempo unitario. Il sistema di monitoraggio rileva il guasto dopo un tempo di legge esponenziale di parametro $ \lambda>0$ . Qual è la legge del tempo di osservazione del guasto? Se ne determinino media e varianza.

Allora io ho pensato di svolgere così:
Determinare la legge del tempo di osservazione significa determinare la densità.. giusto?
quindi

$ f(t) = \lambda * e^(-\lambdat)$ se $t>0 $
e 0 altrimenti

Per trovare il valore medio devo fare l'integrale di $ t*f(t) dt $ giusto? ma in quali estremi? $0$ e $+oo$ oppure $0$ e $1$ visto che il tempo è unitario?
Oppure ho sbagliato tutto il ragionamento?

[fu^2]

come il tempo è unitario?... non c'entra nulla quello, la media di una v.a. che ammette densità continua è sempre data da, per definizione, [tex]E(X)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}t f(t) dt[/tex]

nel tuo caso hai che [tex]f(t)\lambda e^{-\lambda t}1_{[0,+\infty]}(t)[/tex], dunque...

[gemellina90]

Ah ok..
Dicevo in quel modo xke adesso mi viene un integrale "irrisolvibile"...

[DajeForte]

A leggere il testo mi era parso cosi': l'impianto si guasta in un tempo random tra 0 e 1 (v.a. X);

il sistema rileva l'errore dopo il tempo T (esponenziale) dall'avvenuta rottura.

Quindi mi chiedo: devi lavorare con $Y=X+T$?

Mi viene questo perche' altrimenti questo esercizio sembrerebbe definisci la densita' dell'esponenziale e trovane media e varianza.