Esercizio probabilità (forse binomiale negativa)
Vi scrivo di seguito il testo dell'esercizio:
La percentuale di soggetti che pratica uno sport acquatico in una certa regione è del 60%. Supponendo di scegliere casualmente con reinserimento da tale popolazione 10 soggetti, si dica qual è la probabilità che i primi 5 pratichino sport e i restanti no. Quanto vale, invece, la probabilità che 5 soggetti pratichino lo sport? Perché è cambiata?
Ho incontrat maggiori difficoltà nel primo punto dell' esercizio. Naturalmente, nel calcolare la probabilità che i primi 5 non pratichino sport e gli ultimi 5 si, si troverà un valore molto più piccolo rispetto alla probabilità di trovare in generale 5 soggetti che non pratichino sport e 5 si (senza considerare l'ordine).
Per il primo punto ho scomposto l'evento in due sottoeventi. Ho calcolato prima la probabilità che il primo soggetto che non pratichi sport si trovi alla sesta estrazione tramite la binomiale negativa. E poi ho fatto l'intersezione con la probabilità che i restanti 4 pratichino sport.
P(S) Probabilità di successo, ovvero che i primi 5 pratichino sport e i restanti 5 no.
P(A) Probabilità che il primo che non pratichi sport si ottenga alla sesta estrazione
P(B) Probabilità che i restanti 4 non pratichino sport
$P(A) = 1 - [P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)]$
Dove le $ P(1),P(2), P(3), P(4), P(5)$ rappresentano le probabilità che il primo soggetto che non pratichi sport si raggiunga rispettivamente alla prima, alla seconda, alla terza, alla quarta, alla quinta estrazione. Ogni P(i) l'ho calcolata con la formula della binomiale negativa dove nel binomio di Newton Ho considerato n-1 su k-1.
Come risultati ottengo:
$P(A)=0,078$
$P(B)=0,4^4$
$P(S) = P(A) \cap P(B) = 0,0019968$
Mi potete dire è un procedimento corretto? Se no, come procedereste voi?
La percentuale di soggetti che pratica uno sport acquatico in una certa regione è del 60%. Supponendo di scegliere casualmente con reinserimento da tale popolazione 10 soggetti, si dica qual è la probabilità che i primi 5 pratichino sport e i restanti no. Quanto vale, invece, la probabilità che 5 soggetti pratichino lo sport? Perché è cambiata?
Ho incontrat maggiori difficoltà nel primo punto dell' esercizio. Naturalmente, nel calcolare la probabilità che i primi 5 non pratichino sport e gli ultimi 5 si, si troverà un valore molto più piccolo rispetto alla probabilità di trovare in generale 5 soggetti che non pratichino sport e 5 si (senza considerare l'ordine).
Per il primo punto ho scomposto l'evento in due sottoeventi. Ho calcolato prima la probabilità che il primo soggetto che non pratichi sport si trovi alla sesta estrazione tramite la binomiale negativa. E poi ho fatto l'intersezione con la probabilità che i restanti 4 pratichino sport.
P(S) Probabilità di successo, ovvero che i primi 5 pratichino sport e i restanti 5 no.
P(A) Probabilità che il primo che non pratichi sport si ottenga alla sesta estrazione
P(B) Probabilità che i restanti 4 non pratichino sport
$P(A) = 1 - [P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)]$
Dove le $ P(1),P(2), P(3), P(4), P(5)$ rappresentano le probabilità che il primo soggetto che non pratichi sport si raggiunga rispettivamente alla prima, alla seconda, alla terza, alla quarta, alla quinta estrazione. Ogni P(i) l'ho calcolata con la formula della binomiale negativa dove nel binomio di Newton Ho considerato n-1 su k-1.
Come risultati ottengo:
$P(A)=0,078$
$P(B)=0,4^4$
$P(S) = P(A) \cap P(B) = 0,0019968$
Mi potete dire è un procedimento corretto? Se no, come procedereste voi?
Risposte
"L_92":
Vi scrivo di seguito il testo dell'esercizio:
La percentuale di soggetti che pratica uno sport acquatico in una certa regione è del 60%. Supponendo di scegliere casualmente con reinserimento da tale popolazione 10 soggetti, si dica qual è la probabilità che i primi 5 pratichino sport e i restanti no. Quanto vale, invece, la probabilità che 5 soggetti pratichino lo sport? Perché è cambiata?
Se non vedo male si può idealizzare il problema per ricondurlo a quello delle estrazioni con rimessa da un'urna. Supponendo che ciascuna persona abbia la stessa probabilità di essere "pescata", la probabilità di estrarre una persona che pratica sport acquatici è $6/10$. Rispondere alla prima domanda significa valutare la probabilità che, facendo dieci estrazioni da un'urna (che contenga palline di due tipi: "sportive" e "non sportive") con reimbussolamento, io estragga $5$ "palline sportive" e $5$ "palline non sportive".
\[ \text{Pr}(S) = \left (\frac{6}{10} \right )^5 \left ( 1 - \frac{6}{10} \right )^{10 - 5} \]
Il secondo punto mi sembra ambiguo. Infatti non si capisce se la probabilità di pescare $5$ soggetti sportivi sia legata al campionamento fatto inizialmente (10 estrazioni...).
"Seneca":
[quote="L_92"]Vi scrivo di seguito il testo dell'esercizio:
La percentuale di soggetti che pratica uno sport acquatico in una certa regione è del 60%. Supponendo di scegliere casualmente con reinserimento da tale popolazione 10 soggetti, si dica qual è la probabilità che i primi 5 pratichino sport e i restanti no. Quanto vale, invece, la probabilità che 5 soggetti pratichino lo sport? Perché è cambiata?
Se non vedo male si può idealizzare il problema per ricondurlo a quello delle estrazioni con rimessa da un'urna. Supponendo che ciascuna persona abbia la stessa probabilità di essere "pescata", la probabilità di estrarre una persona che pratica sport acquatici è $6/10$. Rispondere alla prima domanda significa valutare la probabilità che, facendo dieci estrazioni da un'urna (che contenga palline di due tipi: "sportive" e "non sportive") con reimbussolamento, io estragga $5$ "palline sportive" e $5$ "palline non sportive".
\[ \text{Pr}(S) = \left (\frac{6}{10} \right )^5 \left ( 1 - \frac{6}{10} \right )^{10 - 5} \]
Il secondo punto mi sembra ambiguo. Infatti non si capisce se la probabilità di pescare $5$ soggetti sportivi sia legata al campionamento fatto inizialmente (10 estrazioni...).[/quote]
Mmm non credo che i conti tornino..
Con questa formula che hai scritto non viene considerato l'ordine. Se la richiesta fosse che alle prime tre estrazioni ci fossero tre palline sportive, poi 5 non sportive ed infine le ultime due sportive, il risultato finale risulterebbe identico infatti nella formula si cambierebbe soltanto l'ordine dei fattori.
Alla fine verrebbe sempre $P(S) = 0,6^5 * 0,4^5$.
Invece il primo punto chiede che i PRIMI 5 pratichino sport e gli ULTIMI 5 no..
PS: Cosa devo fare per scrivere le formule in quel formato?
Quello che bisogna tener conto è il modello, ovviamente tutti gli eventi in gioco sono indipendenti.
$p=0.6$ di successo, che una persona pratichi sport.
$n=10$ il campione della popolazione
In questo conta l'ordine di estrazione, è un modello Bernoulliano e si risolve come avete proposto (che sia con la probabilità elementare o con distribuzioni). Diciamo che è un'istanza di una Binomiale.
Questo invece non conta l'ordine, quindi bisogna tener in considerazione le combinazioni possibili.
dai un occhio qui oppure prova a citare il tuo post, ti ho aggiunto i tag per farti vedere.
"L_92":
La percentuale di soggetti che pratica uno sport acquatico in una certa regione è del 60%. Supponendo di scegliere casualmente con reinserimento da tale popolazione 10 soggetti
$p=0.6$ di successo, che una persona pratichi sport.
$n=10$ il campione della popolazione
"L_92":
si dica qual è la probabilità che i primi 5 pratichino sport e i restanti no.
In questo conta l'ordine di estrazione, è un modello Bernoulliano e si risolve come avete proposto (che sia con la probabilità elementare o con distribuzioni). Diciamo che è un'istanza di una Binomiale.
"L_92":
Quanto vale, invece, la probabilità che 5 soggetti pratichino lo sport? Perché è cambiata?
Questo invece non conta l'ordine, quindi bisogna tener in considerazione le combinazioni possibili.
"L_92":
PS: Cosa devo fare per scrivere le formule in quel formato?
dai un occhio qui oppure prova a citare il tuo post, ti ho aggiunto i tag per farti vedere.
Quindi la risposta alla seconda domanda è
\[ \text{Pr}(S) \cdot \left ( \begin{matrix}10\\5\end{matrix} \right ) \]
giusto?
\[ \text{Pr}(S) \cdot \left ( \begin{matrix}10\\5\end{matrix} \right ) \]
giusto?
"Seneca":
Quindi la risposta alla seconda domanda è
\[ \text{Pr}(S) \cdot \left ( \begin{matrix}10\\5\end{matrix} \right ) \]
giusto?
esatto.
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