Esercizio probabilità congiunta

[Pablitos23]

Tre urne U1, U2 e U3, contengono 5 palline enumerate da 1 a 5 . Da ciascuna urna si estrae una palla in modo casuale. Si indichino con N1, N2 e N3 i tre numeri ottenuti e si ponga:

$X=max{N1,N2}$
$Y=max{N1,N3}$

$a)$ Calcolare la distribuzione di probabilità di $X$.
$b)$ Costruire la tabella della distribuzione congiunta di $X$ e $Y$.
$c)$ Calcolare la distribuzione di probabilità condizionata di $Y$ dato $X=4$.
$d)$ Le variabili aleatorie $X$ e $Y$ sono indipendenti??

Per il quesito $a$ devo calcolare le probabilità di:

$P(X=1) = $ estraggo la palla numero 1 sia da U1 che da U2.
$P(X=2) = $ estraggo la palla 1 da U1 e la palla 2 da U2 o viceversa o estraggo entrambe le palle 2.
ecc..

La distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Y$ sarà identica allora?

$P(X=x) = 1/5 * 1/5 * (x+x-1) $
$\sum_{k=1}^5 P(X=k) = 1$

[Pablitos23]

$P(X=1) = 1/25 = P(Y=1)$
$P(X=2) = 1/5 = P(Y=2)$
$P(X=3) = 7/25 = P(Y=3)$
$P(X=4) = 9/25 = P(Y=4)$

Per il punto $b$ devo trovare la probabilità di:

$\sum_{x=1}^5\sum_{y=1}^5 P(X=x,Y=y) = 1$ ed inserire ogni singola probabilità nell'intersezione della riga e della colonna relativa al valore delle v.a.

Come si fa la tabella sul forum?? Ho fatto col button table= ma dopo che ho inserito tutti i valori non me la visualizzava più.

[Lo_zio_Tom]

La variabile aleatoria congiunta $P(x,y)$ viene così:


${: ( YX , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , t o t ),( 1 , 1/5^3 , 1/5^3 , 1/5^3 , 1/5^3 , 1/5^3 , 1/25 ),( 2 , 1/5^3 , 5/5^3 , 3/5^3 , 3/5^3 , 3/5^3 , 3/25 ),( 3 , 1/5^3 , 3/5^3 , 11/5^3 , 5/5^3 , 5/5^3 , 5/25 ),( 4 , 1/5^3 , 3/5^3 , 5/5^3 , 19/5^3 , 7/5^3 , 7/25 ),( 5 , 1/5^3 , 3/5^3 , 5/5^3 , 7/5^3 , 29/5^3 , 9/25 ),( t o t , 1/25 , 3/25 , 5/25 , 7/25 , 9/25 , 25/25 ) :}$

[Pablitos23]

La tabella adesso la so calcolare. Non so come scriverla formattata per bene sul forum.

Per il punto $c$:

$P(y|X=4) = \sum_{y=1}^5 P(Y=y|X=4) =$

$ = \sum_{y=1}^5 (P(Y=ynnX=4))/(P(X=4))$

[Lo_zio_Tom]

"Paolovox":La tabella adesso la so calcolare. Non so come scriverla formattata per bene sul forum.

te l'ho messa comunque per controllo!


una volta nota la distribuzione congiunta il problema è finito....tutti i dati sono disponbili immediatamente, senza calcoli

$P(Y|X=4)-={{: ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),( 1/35 , 3/35, 5/35 , 19/35 , 7/35 ) :}$

ovviamente $X,Y$ non sono indipendenti!

ti trovi?

[Pablitos23]

Si scusa mi ero impicciato.

I due eventi non sono indipendenti perchè:

$n_(ij) = (n_i * n_j) / N $ $text{ }AA_(ij)text{ } i=r,j=c$

[Lo_zio_Tom]

"Paolovox":Si scusa mi ero impicciato.

I due eventi non sono indipendenti perchè:

perché non è vero che

$p(x,y)=p(x)p(y)AAx,y$

[Pablitos23]

Quindi perchè esiste almeno una probabilità di massa congiunta che non è uguale al prodotto delle probabilità marginali.

Ti ringrazio per l'n-esima volta.