Esercizio probabilità condizionata
Salve ancora, ho un altro esercizio da proporvi:
Un'urna contiene 100 dadi di cui 50 sono truccati e 50 non truccati. Per quelli truccati, la probabilità di ottenere 1 è $1/2$, mentre ogni altro risultato esce con probabilità $1/10$.
1) Un dado viene estratto a caso e lanciato: indichiamo con $X$ il risultato del lancio. Calcolare la probabilità che $X=5$.
2) Calcolare $E(X)$.
3) Un dado viene estratto a caso e lanciato tre volte con risultati 1,1,3. Calcolare la probabilità che si tratti di un dado non truccato.
io l'ho risolto nel seguente modo:
PUNTO 1----------------------------------------
$P(T)$ = < probabilità che sia un dado truccato> = $1/2 = 0.5$;
$P(NT)$ = = $1/2 = 0.5$
$P(1 | T)$ = = $1/2 = 0.5$
$P(ALTRO | T)$ = = $1/10 = 0.1$
per quanto riguarda il dado non truccato, abbiamo che per qualsiasi estrazione la probabilità è $1/6$.
quindi, la probabilità di estrarre il numero 5 pescando a caso e lanciando un dado, è:
$1/2 * 0.1 + 1/2 * 1/6 = 0.1333$
PUNTO 2----------------------------------------
$E(X) = 1/n sum x_{k}p_{X}(x_k) $ per $k=1,...,n$.
Il mio dubbio è il seguente: in parole povere, $E(X)$ è la media dei valori che $X$ può assumere moltiplicati per la loro probabilità di uscire. Ma visto che ho due tipi di dadi, con probabilità differenti, devo fare una media su entrambi i dadi? quindi
$E(X) = (1*1/2+2*1/10+3*1/10+4*1/10+5*1/10+6*1/10 + 1/2(1+2+3+4+5+6))/12 = 1.0833
PUNTO 3----------------------------------------
devo calcolare $P(NT | 1,1,3)$:
$P(NT | 1,1,3) = (P(1,1,3|NT)*P(NT))/(P(1,1,3|NT)*P(NT)+P(1,1,3|T)*P(T)) = (1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/6*1/6*1/6*1/2+1/2*1/2*1/10*1/2) = 0.0148$
sto seguendo la strada giusta?
Un'urna contiene 100 dadi di cui 50 sono truccati e 50 non truccati. Per quelli truccati, la probabilità di ottenere 1 è $1/2$, mentre ogni altro risultato esce con probabilità $1/10$.
1) Un dado viene estratto a caso e lanciato: indichiamo con $X$ il risultato del lancio. Calcolare la probabilità che $X=5$.
2) Calcolare $E(X)$.
3) Un dado viene estratto a caso e lanciato tre volte con risultati 1,1,3. Calcolare la probabilità che si tratti di un dado non truccato.
io l'ho risolto nel seguente modo:
PUNTO 1----------------------------------------
$P(T)$ = < probabilità che sia un dado truccato> = $1/2 = 0.5$;
$P(NT)$ =
$P(1 | T)$ =
$P(ALTRO | T)$ =
per quanto riguarda il dado non truccato, abbiamo che per qualsiasi estrazione la probabilità è $1/6$.
quindi, la probabilità di estrarre il numero 5 pescando a caso e lanciando un dado, è:
$1/2 * 0.1 + 1/2 * 1/6 = 0.1333$
PUNTO 2----------------------------------------
$E(X) = 1/n sum x_{k}p_{X}(x_k) $ per $k=1,...,n$.
Il mio dubbio è il seguente: in parole povere, $E(X)$ è la media dei valori che $X$ può assumere moltiplicati per la loro probabilità di uscire. Ma visto che ho due tipi di dadi, con probabilità differenti, devo fare una media su entrambi i dadi? quindi
$E(X) = (1*1/2+2*1/10+3*1/10+4*1/10+5*1/10+6*1/10 + 1/2(1+2+3+4+5+6))/12 = 1.0833
PUNTO 3----------------------------------------
devo calcolare $P(NT | 1,1,3)$:
$P(NT | 1,1,3) = (P(1,1,3|NT)*P(NT))/(P(1,1,3|NT)*P(NT)+P(1,1,3|T)*P(T)) = (1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/6*1/6*1/6*1/2+1/2*1/2*1/10*1/2) = 0.0148$
sto seguendo la strada giusta?
Risposte
Il procedimento è giusto in tutti i punti ma occhio ai conti perché nel punto 3
i calcoli sono sbagliati (negli altri non ho controllato). Arrivi ad un valore non plausibile $0,0148$
infatti se fai bene i conti viene $0,15625$. D'altra parte tieni presente che
$P(NT|1,1,3)+P(T|1,1,3)=1$ ed ok che la seconda è sicuramente più alta della prima
ma non in modo tanto sproporzionato. Infatti la seconda vale $0,84375$
i calcoli sono sbagliati (negli altri non ho controllato). Arrivi ad un valore non plausibile $0,0148$
infatti se fai bene i conti viene $0,15625$. D'altra parte tieni presente che
$P(NT|1,1,3)+P(T|1,1,3)=1$ ed ok che la seconda è sicuramente più alta della prima
ma non in modo tanto sproporzionato. Infatti la seconda vale $0,84375$
Hai ragione, ho sbagliato a fare i conti 
viene proprio 0.15625
Allora mi confermi che il punto 2 si calcola in quel modo?
viene proprio 0.15625Allora mi confermi che il punto 2 si calcola in quel modo?
Non confermo per niente! c'è un grave errore che non avevo visto!
la formula generale che metti per il valore atteso è sbagliata, devi togliere qull'$1/n$
oppure lo lasci e togli le $p(x_i)$ ed ipotizzi equiprobabilità degli eventi.
Tu hai fatto un'insalata
Comunque l'importante è capire l'errore.
Inoltre è sbagliata anche la formula numerica.
Ma se ci pensi arrivi da solo alla soluzione corretta.
Comunque i tuoi sono problemi tecnici i concetti ci sono
la formula generale che metti per il valore atteso è sbagliata, devi togliere qull'$1/n$
oppure lo lasci e togli le $p(x_i)$ ed ipotizzi equiprobabilità degli eventi.
Tu hai fatto un'insalata
Comunque l'importante è capire l'errore.
Inoltre è sbagliata anche la formula numerica.
Ma se ci pensi arrivi da solo alla soluzione corretta.
Comunque i tuoi sono problemi tecnici i concetti ci sono
argh, è vero che non va $1/n$.. però non ho capito come andrebbe fatto il calcolo allora.. in che senso ipotizzare l'equiprobabilità degli eventi?
comunque grazie mille per l'aiuto
comunque grazie mille per l'aiuto
Se $P(x_i)=1/n$ per ogni $i$ allora gli eventi sono equiprobabili sei ti torna?
In tal caso puoi raccogliere e portare fuori. Per quello a volte si una la formula con
$1/n$ perché c'è un'implicita o esplicita ipotesi di equiprobabilità.
Ma non vale in generale.
Nel tuo caso vale il dato non truccato ma non per l'altro
In tal caso puoi raccogliere e portare fuori. Per quello a volte si una la formula con
$1/n$ perché c'è un'implicita o esplicita ipotesi di equiprobabilità.
Ma non vale in generale.
Nel tuo caso vale il dato non truccato ma non per l'altro
ok per gli equiprobabili, mi era sfuggita quella parte dalla definizione. Per quanto riguarda il dado truccato come faccio allora?
Se mi chiede di calcolare $E(X)$ posso farlo solo per il dado NON truccato?
Sul testo che sto seguendo dice che se gli eventi non sono equiprobabili si può procedere col calcolare una media pesata.. ma quindi devo fare i due casi separati o devo in qualche modo sommare/relazionare il fatto che sia truccato al non truccato?
Se mi chiede di calcolare $E(X)$ posso farlo solo per il dado NON truccato?
Sul testo che sto seguendo dice che se gli eventi non sono equiprobabili si può procedere col calcolare una media pesata.. ma quindi devo fare i due casi separati o devo in qualche modo sommare/relazionare il fatto che sia truccato al non truccato?
Io direi che per calcolare quel valore atteso ti mancano le $p(x_i)$ però le possiamo trovare
mediando quelle dei due casi prova a fare un tentativo, mettendo una formula, se sbagli di dico che fare
mediando quelle dei due casi prova a fare un tentativo, mettendo una formula, se sbagli di dico che fare
dunque, ci ho ragionato un po' su prima e m'è venuta in mente sta cosa...
faccio la media ponderata nel caso del dado truccato
$(1*1/2+2*1/10+3*1/10+4*1/10+5*1/10+6*1/10)/(1/2+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10) = 2.5/1 = 2.5$
la media aritmetica del dado non truccato:
$(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$
quindi faccio la media tra le due:
$(2.5+3.5)/2 = 3$
faccio la media ponderata nel caso del dado truccato
$(1*1/2+2*1/10+3*1/10+4*1/10+5*1/10+6*1/10)/(1/2+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10) = 2.5/1 = 2.5$
la media aritmetica del dado non truccato:
$(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$
quindi faccio la media tra le due:
$(2.5+3.5)/2 = 3$
Si il metodo che usi e corretto.
Solamente nel caso del dado truccato il denominatore che inserisci è superfluo,
non compare nella formula generale e se ci pensi sarebbe sempre uguale ad 1.
Per l'ultima operazione che restituisce il risultato definitivo è giusta ma
tieni presente che vale soltanto se la probabilità di usare un dado o l'altro
e uguale (quindi $1/2$) altrimenti a sua volta ci vorrebbe una media pesata
Solamente nel caso del dado truccato il denominatore che inserisci è superfluo,
non compare nella formula generale e se ci pensi sarebbe sempre uguale ad 1.
Per l'ultima operazione che restituisce il risultato definitivo è giusta ma
tieni presente che vale soltanto se la probabilità di usare un dado o l'altro
e uguale (quindi $1/2$) altrimenti a sua volta ci vorrebbe una media pesata
ok! tutto chiaro grazie mille, sei/siete stati gentilissimi! 
grazie mille, sei/siete stati gentilissimi!
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