Esercizio probabilità condizionata

[anonymous_75b822]

Ciao ragazzi! Non so come risolvere il seguente esercizio: uno studente, se è preparato, ha probabilità 0.9 di superare l'esame mentre se non è preparato ha probabilità 0.2 di superare l'esame! Qual è la probabilità che l'esito dell'esame rifletta esattamente il grado di preparazione dello studente?
In sostanza, ponendo S = superare l'esame ; NS = non superare l'esame ; P = preparato ; NP = non preparato , ho le seguenti probabilità:
P(S|P)=0.9 e P(S|NP)=0.2
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[anonymous_75b822]

Io ho pensato: la probabilità che uno studente non superi l'esame se non è preparato (se non sbaglio) è 0.8 (il complementare di P(S|NP) e la probabilità che lo studente lo superi se è preparato è 0.9; ho quindi le due probabilità che l'esito rispecchi la preparazione ma non sapevo come unire le due probabilità in un'unica probabilità quindi dato che sommandole viene >1 e non può essere, le ho moltiplicate ottenendo 0.72. Non mi convince ma ci ho provato.. era un esercizio d'esame quindi non avevo neanche troppo tempo per pensarci

[anonymous_75b822]

E' solo che ci sto pensando da 1 giorno ma non saprei come risolverlo in altro modo

[superpippone]

A me verrebbe $169/198$......

$((0,9)/(0,9+0,2)+(0,8)/(0,8+0,1))/2$

[superpippone]

Ho considerato che essere preparato, o non esserlo, fosse casuale.
Ovvero equiprobabile.
Altrimenti avrebbero dovuto dire qual era la probabilità di essere preparati o meno.
Per cui la probabilità che il risultato dell'esame rispecchi quello della preparazione, è data dalla somma della probabilità: Preparato Supera/Totale che Superano + Non Preparato Non Supera/Totale che Non Superano.

Come ho già detto più volte, le formule mi sono sconosciute.......
Forse è più chiaro così:

$(0,5*0,9)/(0,9+0,2)+(0,5*0,8)/(0,8+0,1)$

[vict85]

Premettendo che non sono un esperto di probabilità, e che sono decisamente fuori allenamento con queste cose. Io lo interpreto come \(\displaystyle \mathbb{P}(P \cap S) + \mathbb{P}(\overline{P} \cap \overline{S}) = 1 - \mathbb{P}(\overline{P} \cap S) - \mathbb{P}(P \cap \overline{S}) \).

Usando le probabilità condizionate viene \begin{align} \mathbb{P}(P \cap S) + \mathbb{P}(\overline{P} \cap \overline{S}) &= \mathbb{P}(S | P)\mathbb{P}(P) + \mathbb{P}(\overline{S} | \overline{P})\mathbb{P}(\overline{P}) \\
&= \mathbb{P}(S | P)\mathbb{P}(P) + \mathbb{P}(\overline{S} | \overline{P})\bigl(1 - \mathbb{P}(P)\bigr) \\
&= 0.9 \mathbb{P}(P) + 0.8 \bigl(1 - \mathbb{P}(P)\bigr) \\
&= 0.1 \mathbb{P}(P) + 0.8 \\
\end{align} D'altra parte non conosciamo la probabilità che lo studente sia preparato quindi è fortemente possibile che non sia la strada giusta.

[anonymous_75b822]

Grazie delle risposte! Mi dispiace avervi fatto perdere tempo su un esercizio il cui testo non era quello reale.. stamattina ho potuto rileggere il testo dell'esercizio e le prime parole dicevano che il 60% degli studenti che si presentano è preparato! Giuro che non ricordo di averla nemmeno vista quella percentuale, comunque così l'esercizio è facile.
Risposte interessanti comunque quelle che mi avete fornito, grazie ancora e scusatemi ancora!