Esercizio probabilità condizionata
Ho un problema con quest'esercizio e non riesco a capire dove sbaglio.
La situazione è questa: uno studente deve sostenere tre prove, se non passa la uno non può accedere alla due e se non passa la due non può accedere alla tre.
Il problema dice che la probabilità di passare il primo esame è 0.9, la prob. condiz. di passare il secondo sapendo di aver passato il primo è 0.8 mentre la prob. di superare il terzo sapendo di aver passato i primi due è 0.7.
La domanda è calcolare la prob. che non si sia passato il secondo esame dato che non si è passato uno dei tre.
Ho chiamato S1, S2, S3 i tre eventi "passa l'esame 1, 2, 3" rispettivamente. Le prob. che ho come dati sono P(S1)=0.9, P(S2|S1)=0.8, P(S3|S1eS2)=0.7. U={non supera una delle prove}. La richiesta è P($S2^c$|U) che ho riscritto come P(U|$S2^c$)•P($S2^c$)/P(U).
Ora P(U)=P($S1^c or S1S2^c or S1S2S3^c$) gli eventi non separati da spazi indicano intersezione.
Insomma viene (eventi disgiunti, sommo le prob., utilizzo la prob condiz. per avere quella delle intersezioni) P(U)=0.496.
Inoltre ritengo che P(U|$S2^c$)=1 dato che se non ha passato l'esame 2 allora non ha passato uno degli esami.
Per P($S2^c$)=P($S2^c$
|S1)•P(S1)+P($S2^c$|$S1^c$)•P($S1^c$)=0.2•0.9+1•0.1=0.28
Mettendo tutto insieme il risultato non è quello giusto.
Scusate se non è perfetta la scrittura e la lunghezza un po' eccessiva.
La situazione è questa: uno studente deve sostenere tre prove, se non passa la uno non può accedere alla due e se non passa la due non può accedere alla tre.
Il problema dice che la probabilità di passare il primo esame è 0.9, la prob. condiz. di passare il secondo sapendo di aver passato il primo è 0.8 mentre la prob. di superare il terzo sapendo di aver passato i primi due è 0.7.
La domanda è calcolare la prob. che non si sia passato il secondo esame dato che non si è passato uno dei tre.
Ho chiamato S1, S2, S3 i tre eventi "passa l'esame 1, 2, 3" rispettivamente. Le prob. che ho come dati sono P(S1)=0.9, P(S2|S1)=0.8, P(S3|S1eS2)=0.7. U={non supera una delle prove}. La richiesta è P($S2^c$|U) che ho riscritto come P(U|$S2^c$)•P($S2^c$)/P(U).
Ora P(U)=P($S1^c or S1S2^c or S1S2S3^c$) gli eventi non separati da spazi indicano intersezione.
Insomma viene (eventi disgiunti, sommo le prob., utilizzo la prob condiz. per avere quella delle intersezioni) P(U)=0.496.
Inoltre ritengo che P(U|$S2^c$)=1 dato che se non ha passato l'esame 2 allora non ha passato uno degli esami.
Per P($S2^c$)=P($S2^c$
|S1)•P(S1)+P($S2^c$|$S1^c$)•P($S1^c$)=0.2•0.9+1•0.1=0.28
Mettendo tutto insieme il risultato non è quello giusto.
Scusate se non è perfetta la scrittura e la lunghezza un po' eccessiva.
Risposte
Fino a qui $0,1+0,18+0,216=0,496$ concordo con te.
Ora basta fare semplicemente $(0,18)/(0,496)=0,3629$
Ora basta fare semplicemente $(0,18)/(0,496)=0,3629$
Cioè P($S2^c$)=0.18?
Non devo quindi aggiungere P($S2^c|S1^c$) al conteggio per P($S2^c$).
Non capisco il motivo però. Il fatto che non si verifichi S1 mi dà direttamente che P($S2^c|S1^c$)=0? Perché l'evento non esiste proprio, diciamo?
Non devo quindi aggiungere P($S2^c|S1^c$) al conteggio per P($S2^c$).
Non capisco il motivo però. Il fatto che non si verifichi S1 mi dà direttamente che P($S2^c|S1^c$)=0? Perché l'evento non esiste proprio, diciamo?
La probabilità di non passare la prova 1 è $0,1$
La probabilità di non passare la prova 2 è data dalla probabilità di passare la prova 1 per la probabilità di fallire la prova 2 $0,9*0,2=0,18$
La probabilità di non passare la prova 3 è data dalla probabilità di passare la prova 1, per la probabilità di passare la prova 2, per la probabilità di fallire la prova 3 $0,9*0,8*0,3=0,216$
In totale la possibilità di non passare una prova (e una sola, non è possibile fallirne 2 o più) è $0,1+0,18+0,216=0,496$
Sapendo che sia sta fallita una prova, la probabilità che questa sia la numero 2 è $(0,18)/(0,496)=0,3629$.
Un altro modo per calcolare la possibilità di fallire una prova, è data dalla probabilità contraria.
ovvero trovo la probabilità di superarle tutte e 3, e faccio il complemento a uno.
$1-0,9*0,8*0,7=1-0,504=0,496$
La probabilità di non passare la prova 2 è data dalla probabilità di passare la prova 1 per la probabilità di fallire la prova 2 $0,9*0,2=0,18$
La probabilità di non passare la prova 3 è data dalla probabilità di passare la prova 1, per la probabilità di passare la prova 2, per la probabilità di fallire la prova 3 $0,9*0,8*0,3=0,216$
In totale la possibilità di non passare una prova (e una sola, non è possibile fallirne 2 o più) è $0,1+0,18+0,216=0,496$
Sapendo che sia sta fallita una prova, la probabilità che questa sia la numero 2 è $(0,18)/(0,496)=0,3629$.
Un altro modo per calcolare la possibilità di fallire una prova, è data dalla probabilità contraria.
ovvero trovo la probabilità di superarle tutte e 3, e faccio il complemento a uno.
$1-0,9*0,8*0,7=1-0,504=0,496$
"Reborn":
Cioè P($S2^c$)=0.18?
Non devo quindi aggiungere P($S2^c|S1^c$) al conteggio per P($S2^c$).
Non capisco il motivo però. Il fatto che non si verifichi S1 mi dà direttamente che P($S2^c|S1^c$)=0? Perché l'evento non esiste proprio, diciamo?
Usando la tua notazione, $P(S2| S1^c)=0$ perchè i due eventi sono disgiunti ($S2\capS1^c=\emptyset$, da cui segue che $P(S2\capS1^c)=0$)per ipotesi. Ovvero, non puoi accedere al secondo esame se non hai passato il primo.
"superpippone":
La probabilità di non passare la prova 1 è $0,1$
La probabilità di non passare la prova 2 è data dalla probabilità di passare la prova 1 per la probabilità di fallire la prova 2 $0,9*0,2=0,18$
La probabilità di non passare la prova 3 è data dalla probabilità di passare la prova 1, per la probabilità di passare la prova 2, per la probabilità di fallire la prova 3 $0,9*0,8*0,3=0,216$
In totale la possibilità di non passare una prova (e una sola, non è possibile fallirne 2 o più) è $0,1+0,18+0,216=0,496$
Sapendo che sia sta fallita una prova, la probabilità che questa sia la numero 2 è $(0,18)/(0,496)=0,3629$.
Un altro modo per calcolare la possibilità di fallire una prova, è data dalla probabilità contraria.
ovvero trovo la probabilità di superarle tutte e 3, e faccio il complemento a uno.
$1-0,9*0,8*0,7=1-0,504=0,496$
Fin qui ci sono, infatti avevo ricalcolato tutto in diversi modi. Però il dubbio ce l'ho sull'evento $S2^c$: condizionando rispetto ad S1 ed $S1^c$ ho quella formula che ho scritto sopra, cioè $P(S2^c)=P(S2^c|S1)•P(S1)+P(S2^c|S1^c)•P(S1^c)$. C'è un errore qui sicuramente e credo che sia qui $P(S2^c|S1^c)$ perché io ritenevo che, dato che l'esame 1 non è stato passato, allora con probabilità uno non può aver passato il secondo: non può averlo passato dato che non lo ha sostenuto!
"momo1":
[quote="Reborn"]Cioè P($S2^c$)=0.18?
Non devo quindi aggiungere P($S2^c|S1^c$) al conteggio per P($S2^c$).
Non capisco il motivo però. Il fatto che non si verifichi S1 mi dà direttamente che P($S2^c|S1^c$)=0? Perché l'evento non esiste proprio, diciamo?
Usando la tua notazione, $P(S2| S1^c)=0$ perchè i due eventi sono disgiunti ($S2\capS1^c=\emptyset$, da cui segue che $P(S2\capS1^c)=0$)per ipotesi. Ovvero, non puoi accedere al secondo esame se non hai passato il primo.[/quote]
Esatto, quindi $P(S2^c| S1^c)=1$ ed è proprio qui che non capisco dove sia la falla.
"Reborn":
[quote="momo1"][quote="Reborn"]Cioè P($S2^c$)=0.18?
Non devo quindi aggiungere P($S2^c|S1^c$) al conteggio per P($S2^c$).
Non capisco il motivo però. Il fatto che non si verifichi S1 mi dà direttamente che P($S2^c|S1^c$)=0? Perché l'evento non esiste proprio, diciamo?
Usando la tua notazione, $P(S2| S1^c)=0$ perchè i due eventi sono disgiunti ($S2\capS1^c=\emptyset$, da cui segue che $P(S2\capS1^c)=0$)per ipotesi. Ovvero, non puoi accedere al secondo esame se non hai passato il primo.[/quote]
Esatto, quindi $P(S2^c| S1^c)=1$ ed è proprio qui che non capisco dove sia la falla.[/quote]
La falla sta nel fatto che anche $S2^c\capS1^c=\emptyset$ e quindi anche quella probabilità è nulla
Non puoi non aver passato il secondo esame E non avere passato il primo, dal testo si evince che sono incompatibili.
Si adesso sono d'accordo con te. Però io so che la probabilità condizionata su un evento è una nuova misura di probabilità e quindi $P(S2|S1^c)=0$ implica che $P(S2^c|S1^c)=1$, che mi sembra in disaccordo col fatto che $S1^c S2^c=0$
Scusate se insisto ma voglio capire
Scusate se insisto ma voglio capire
"Reborn":
Si adesso sono d'accordo con te. Però io so che la probabilità condizionata su un evento è una nuova misura di probabilità e quindi $P(S2|S1^c)=0$ implica che $P(S2^c|S1^c)=1$, che mi sembra in disaccordo col fatto che $S1^c S2^c=0$
Scusate se insisto ma voglio capire
Quella relazione è vera se gli eventi sono compatibili.
A livello intuitivo, se il verificarsi e di A e di B è una situazione che può accadere, come puoi parlare del verificarsi di A dato il verificarsi di B?
Nell'applicazione, se non ho passato il primo esame, allora sono sicuro che non ho potuto dare il secondo (la probabilità che non l'ho dato è 1), ma non posso dire di non averlo passato, perchè proprio non l'ho fatto!
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