Esercizio probabilità condizionata

[process11]

nel far west due pistoleri $A$ e $B$ si sfidano a duello. A centra il bersaglio con una probabilità $p_a$, B lo colpisce con una probabilità $p_b$. Essi concordano di lanciare una moneta( opportunamente sbilanciata) per stabilire chi per primo inizi. sotto quali condizioni su $p_a$ e $p_b$ è possibile scegliere la moneta in modo che i duellanti abbiano la stessa probabilità di vincere??

la soluzione dice: sia $p$ la probabilità che lanciando una moneta inizi $A$. allora

$P(A $vinca|$ A $inizia)=$p_a/(p_a+p_b-p_(a)p_b))$
mentre

$P(B $vinca|$ A $inizia)=$((1-p_a)p_b)/(p_a+p_b-p_(a)p_b))$

io non capisco il perchè....da dove vengono fuori queste formule?

[process11]

up

[Rggb1]

Ci avevo pensato anche prima del tuo up.

Però sinceramente c'è qualcosa che non mi convince, ho provato a sviluppare ma non mi torna, forse mi manca un ragionamento. Dove hai preso questo problema? Lo chiedo perché mi sembra deja-vu...

[fu^2]

beh puoi vederla in questo modo:
-se $A$ inizia la prob. che vinca è $p_a=P(\text{A vinca},\text{A inizia})$
-se $A$ inizia la prob. che $B$ vinca è $(1-p_a)p_b=p_b-p_ap_b=P(\text{B vinca},\text{A inizia})$.

Per concludere il problema devi trovare $P(\text{A inizia})$ e dal momento che $\{\text{qualcuno vinca}\}=\{\text{A vinca}\}\cup \{\text{B vinca}\}$ è "una partizione del tuo spazio" ottieni il fattore di normalizzazione che compare al denominatore.