Esercizio Probabilità (Binomiale)

[sportek]

Si consideri un portafoglio di n crediti e supponiamo che i possibili eventi di
default entro un anno siano indipendenti tra loro ed accadano con uguale proba-
bilità p. Si descriva una variabile aleatoria L che modellizzi il numero di default
del portafoglio entro un anno e si determinino le probabilità che questi siano
minori, maggiori od uguali ad un certo k < n.


Allora io ho pensato che essendo il numero di possibile deafult una vc discreta allora ho usato una binomiale.

con una bernoulli con valori $1$ accade default e $0$ non accade default
$ X_k{ ( 1 ;p),( 0 ;1-p):} $


calcolo la probabilità immaginando che ciò che mi viene chiesto siano tutti quei valori $k$ che sono minori di $n$.. quindi da $0$ a $n-1$ dunque... $ Y~ B(n,p) $


$ P(Y



se volessi utilizzare la poisson la formula da usare sarebbe questa sempre per fdr?



$ P(Y


è corretta una risoluzione del genere? che ne pensate?

[Lo_zio_Tom]

Si... e no. Maledetto vizio di scrivere formule approssimative! Hai usato una sommatoria indice k e dentro tutto indipendente da k . Inoltre devi specificare cosa è $lambda$...infine ti chiede che i default siano $
Insomma...il concetto è giusto ma ci sono i soliti pasticci con le formule generalizzate...

Ovviamente le due distribuzioni, sotto determinate condizioni, sono la stessa cosa...e dovresti anche saperlo dimostrare. Se ti interessa fammi sapere che ti mostro come fare... sono un paio di passaggi di analisi

L'utilizzo di una o l'altra distribuzione (che poi è la stessa distribuzione) dipende dai valori di n e k.. potresti anche dover usare una gaussiana....

[sportek]

"tommik":Si... e no. Maledetto vizio di scrivere formule approssimative! Hai usato una sommatoria indice k e dentro tutto indipendente da k . Inoltre devi specificare cosa è $ lambda $.

Tommik intendi nella Poisson giusto? Errore di distrazione

provo a correggere


in questo caso però

$ P(Y


per $lambda$ intendo $lambda=np$ ovvero il numero di default possibilili moltiplicati per la probabilità.. la dimostrazione è quella dove si fa il limite di $n$ che tende a infinito (non so come scrivere infinito) giusto?

In generale comunque lo applico meccanicamente.. il collegamento Poisson Binomiale ce l'ho presente solo formalmente

[sportek]

allora provo a correggere nuovamente..

dato che bisogna calcolare la probabilità che accadano a) non più di $k

$ P(Y

b) probabilità che siano uguali a un certo k

$ P(Y=k)=( (k), (i) ) p^i(1-p)^(k-i) $




c) probabilità che siano maggiori di un certo k



$ P(Y>k)=1- sum_(i = \0)^k( (k), (i) ) p^i(1-p)^(k-i) $

[Lo_zio_Tom]

non ti arrabbiare né demoralizzare...si vede che hai studiato, devi solo stare calmo perché fai tremendi errori di distrazione che però vanificano tutto perché la matematica è fatta così, o funziona o non funziona, o è giusto o è sbagliato

Qui alcuni esempi....non me li far correggere tutti, per favore

"sportek":
$ P(Y

Questa è giusta ma non risponde alla domanda del testo: hai calcolato la probabilità che i default siano minori di n, con n numero fissato di aziende; in altri termini hai calcolato $P(Y

"sportek":$ P(Y

questa invece, ricordando lo sviluppo del binomio di Newton, si può riscrivere così: $[p+(1-p)]^k=1$ e quindi non è $P(Y
ecc ecc...

Prendiamo la formula con la binomiale (corretta)

$P(Y


$n$ sono i crediti, i titoli, le aziende....e $k$ sono i fallimenti.. $0<=k<=n$....perché dici $n-1$? sai di sicuro che un'azienda su n non fallisce?

Se il numero medio di default è piccolo, si può applicare la legge degli eventi rari....cioè la Poisson. Allora, poniamo $p=lambda/n)$ ed usi la poissoniana trovando

$P(Y
dove ovviamente $lambda=np$ è proprio la media della binomiale precedente.

Per vedere che, al limite (infinito si scrive $oo$, sono due o miniuscole), la binomiale diventa poisson basta calcolare il limite della Funzione generatrice dei momenti di una binomiale con parametro $p=lambda/n$

$lim_(n rarr oo)[1-lambda/n+lambda/n e^t]^n=lim_(n rarr oo)[1+(lambda(e^t-1))/n]^n=e^(lambda(e^t-1))$

che è proprio la MGF di una poissoniana[nota]basta utilizzare il limite notevole $lim_(n rarr oo)(1+1/n)^n=e$[/nota] di parametro $lambda$. In termini più formali, abbiamo dimostrato che $B(n;lambda/n)\stackrel(mathcal(L)")rarr Po(lambda)$

Al lato pratico, dovendo risolvere degli esercizi, è molto probabile che tu debba usare una Gaussiana dato che, a certe condizioni, tale distribuzione approssima bene le due distribuzioni discrete.

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[sportek]

Perfetto tutto chiaro, mi ha fregato il $k

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