Esercizio probabilità

[stelladinatale1]

Nell'intervallo $(0,t]$ nascono degli individui secondo un processo di Poisson di parametro $1$.
Ognuno di questi individui ha un orologio che suona secondo un processo di Poisson di parametro $a$, quando questo orologio suona l'individuo muore.
Dimostrare che la probabilità che un individuo nato nell'intervallo $(0,t]$ sia ancora vivo al tempo $t$ è:
$p(t)=\frac{1-e^{-at}}{at}$

Vi spiego come ho ragionato:
Sia $N(t)$ la v.a. che conta il numero di individui nati fino al tempo $t$
$P(N(t)=k)=e^{-t}\frac{t^k}{k!}$

Mentre sapendo che un individuo è nato al tempo $s\leqt$, la probabilità P di essere ancora vivo al tempo $t$ dovrebbe essere uguale alla probabilità che nel tempo $t-s$ l'orologio del secondo processo di Poisson non suoni mai e cioè:
$P=e^{-a(t-s)}$
Ma non riesco a capire quella formula di sopra e soprattutto non riesco a capire come la probabilità richiesta possa essere indipendente dall'istante di tempo $s\in(0,t]$ in cui nasce l'individuo.

[stelladinatale1]

Se integrassi $e^{-a(t-s)}$ tra $0$ e $t$ in $ds$ viene una cosa simile ma manca $t$ al denominatore

[hamming_burst]

Ciao,
Così a naso, direi che ti si chiede di calcolare la densità condizionata. Ora non ho le forze di far calcoli e leggere tutto. Domani ti do una conferma o smentita se nessuno ti risponde prima

[hamming_burst]

Ciao,
allora mi son letto il testo, ma non mi è chiara una cosa, che vuol dire:

quando questo secondo orologio suona l'individuo muore

Quel secondo orologio mi pare un errore del testo oppure non ho compreso di quale altro orologio si tratti.

Dato un individuo, ognuno possiede un orologio $O$ che suona come una Poisson, se suona l'orologio $O$ implica la morte. confermi?

"stelladinatale":Se integrassi

perchè parli di integrazione? la distribuzione di Poisson è definita su v.a. discrete (a meno che non definisci la serie in modo diverso).

[stelladinatale1]

Grazie per la risposta.
Si scusami il testo originario era:
Un orologio suona in accordo ad un processo di Poisson di parametro $1$.
Quando questo orologio suona nasce un individuo che ha un orologio descritto da un processo di Poisson di parametro $a$ che quando suona muore.
Dimostrare che la probabilità che un individuo nato nell'intervallo $(0,t]$ sia ancora vivo al tempo $t$ è:
$p(t)=\frac{1-e^{-at}}{at}$


Per quanto riguarda la seconda domanda,
io non ho una v.a. con distribuzione di Poisson, ma un processo di Poisson cioè una famiglia di v.a. $\{N_t\}_{t\in\mathbb{R}^+}$ dove, se con $N_t$ indico il numero di individui nati tra $0$ e $t$, la distribuzione di $N_t$ è data da:
$P(N_t=k)=\frac{e^{-t}t^k}{k!}, k\in\mathbb{N} $

Io volevo integrare in $ds$ perchè l'indice della variabile aleatoria (che è il tempo) varia nel continuo e nel mio caso può variare tra $0$ e $t$.

[hamming_burst]

io non ho una v.a. con distribuzione di Poisson, ma un processo di Poisson

Uh processi di poisson, che svarionata... meno male che avevo letto

Se è questo l'argomento possono esser d'aiuto fino ad un certo punto. Oltre catene di markov e qualcos'altro non ho conoscenze di processi stocastici.

Segniamo $N(t)$ il processo di Poisson di valore atteso $1$ che scandisce gli eventi di nascita.
E $\bar{N(t)}$ il processo di Poisson di valore atteso $a$ che scandisce gli eventi di morte.

"stelladinatale":
Dimostrare che la probabilità che un individuo nato nell'intervallo $(0,t]$ sia ancora vivo al tempo $t$ è:

Direi che qui si tratta di valutare che (dimostrandolo con la probabilità che ti è stata data): se al tempo $t$ del processo $\bar{N(t)}$ il numero di morti è minore del numero di nascite allo tesso tempo del processo $(N(t)=k)$ vuol dire che con probabilità $p(t)$ un individuo è ancora vivo.

I processi sono indipendenti dal fatto che un orologio che suona quando nasce qualcuno è indipendente dall'orologio (di ogni nuovo nato) che ne pregiudica la morte.

Vedi se questo ti è di aiuto, ne discutiamo in caso contrario.


PS: il fattore $t$ al denominatore non torna nemmeno a me guardando alcuni esempi...

[stelladinatale1]

Ho forse fatto un piccolissimo passo avanti, non so se qualcuno mi può aiutare.
Credo che il processo precedente sia equivalente a un processo di coda con infiniti server (una coda del tipo $M\backslash M\backslash\infty$)
e la probabilità che voglio calcolare potrebbe essere la probabilità che in un sistema con infiniti server un cliente che entra in una stazione di servizio nell'intervallo di tempo $(0,t]$ si stia ancora servendo al tempo $t$.