Esercizio probabilita'

[bataereo]

ciao a tutti vi posto un esercizio che mi e' uscito allo scritto scorso:

in un vagone di un treno ci sono n scompartimenti con ciascuno n posti.salgono esattamente n persone che si dispongono a caso nei posti.qual'e' la probabilita' che nessuno scompartimento sia vuoto§?????

io un idea la avrei...cioe' quella di considerare n^2 posti totali e utilizzare la formula binomiale per calcolare tale probabilita' e cioe':

n(n^2-n)!/n^2 fattoriale cioe' in effetti e' la binomiale capovolta con n^2 posti e n elementi...


qualcuno mi saprebbe aiutare???
grazie mille anticipatamente.

[wnvl]

\(\displaystyle \frac{n!}{n^n} \)

[G3nd4rM31]

Interessa anche a me...ma non riesco a capirne il perchè della tua risposta...

[wnvl]

persona 1 ha n possibilità : \(\displaystyle \frac{n}{n} \)
persona 2 ha n-1 possibilità : \(\displaystyle \frac{n-1}{n} \)
...
persona n ha 1 possibilità :\(\displaystyle \frac{1}{n} \)

ora devi moltiplicare le probabilità...

[bataereo]

Io invece avevo pensato di ragionare cosi'...è come se estraessimo $1$ persona dagli $n$ posti per ogni scompartimento e quindi $n*((n),(1))$ dove $((n),(1))$ e' il coefficiente binomiale delle probabilità favorevoli diviso gli eventi possibili che sono $((n^2),(n))$ che è il coefficiente binomiale per tutti i modi possibili in cui le $n$ persone possono occupare gli $n$ posti....che dite????

${n*((n),(1))}/{((n^2),(n))}$

[xdom="hamming_burt"]Cortesemente evita di scrivere tutto in maiuscolo. Il motivo è che pregiudica la compresione del testo, rendendo il tutto più difficile per chi vuole risponderti. Per questa volta ho sistemato io, sia testo che formule. Attenzione la prossima volta. Grazie![/xdom]

[Rggb1]

problema-di-probabilita-t68899.html

[Rigel1]

@Rggb:
premetto che sono una frana negli esercizi di combinatoria.
Io avrei risposto \(\frac{n!(n−1)!}{(2n−1)!}\).
Infatti \(\frac{(2n−1)!}{n!(n−1)!}\) è il numero di modi diversi in cui posso collocare n oggetti in n scatole. Di tutti questi modi uno solo è favorevole.

[hamming_burst]

"Rigel":Infatti \(\frac{(2n−1)!}{n!(n−1)!}\) è il numero di modi diversi in cui posso collocare n oggetti in n scatole.

Questa tua formulazione non mi torna, dove la hai trovata?

[Rigel1]

E' ciò di cui si parlava in un altro post: il numero di modi diversi di collocare \(n\) oggetti in \(k\) scatole è \(\frac{(n+k-1)!}{n! (k-1)!}\), o no?

[hamming_burst]

"Rigel":E' ciò di cui si parlava in un altro post: il numero di modi diversi di collocare \(n\) oggetti in \(k\) scatole è \(\frac{(n+k-1)!}{n! (k-1)!}\), o no?

ah già, mi ha tratto in inganno $2n-1$...

Per la questione direi che non funzionerebbe, lo spazio conbinatorio non è fatto di $n$ compartimenti perciò non possiamo considerarli delle scatole. Ma invece sono $n$ scompartimenti per $n$ posti ciascuno, perciò come giustamente indica il link di Rggb ci son $n^2$ possibili posti ed $n^n$ possibili disposizioni.
Considera poi che il modello che proponi può dar luogo ad un assurdo mi pare, tentendo conto del testo del problema dove si dice ogni scompartimento NON è vuoto. Seguendo il modello delle combinazioni con ripetizione, ci potrebbero esser disposizioni che producono scompartimenti vuoti.

Una seconda cosa le $n$ persone sono distinte, non sono uguali (almeno che non sono dei cloni)

[Rigel1]

Mah, forse sono io che non capisco il testo del problema o la probabilità discreta ("o" inclusivo).
Mi sembra che il problema sia equivalente al seguente:
ci sono \(n\) scompartimenti, ognuno con infiniti posti, nei quali dobbiamo collocare \(n\) persone.
(poiché la dimensione di ogni scompartimento è \(\geq\) al numero totale di persone, questo non crea alcun vincolo).

[hamming_burst]

Mi sembra che il problema sia equivalente al seguente:
ci sono \(n\) scompartimenti, ognuno con infiniti posti, nei quali dobbiamo collocare \(n\) persone.
(poiché la dimensione di ogni scompartimento è \(\geq\) al numero totale di persone, questo non crea alcun vincolo).

ok, capisco il tuo dubbio. Forse si può astrarre e non considerare che ci siano anche dei posti a sedere per questo problema.

Perciò consideriamo il problema di distribuire uniformemente $n$ persone in $n$ scompartimenti (con il numero di posti uguale a $n$ come nota), perciò che nessuno scompartimento sia vuoto.
Possiamo anche considerare che le persone siano tutte uguali (non c'è ordinamento), ma ancora ci son due vincoli che non consideri (o sbaglio?):
- se le persone sono indistinguibili possiamo affossarle tutte in uno scompartimento
- non consideri che la persona scelta è scartata (qui mi pare è l'assurdo del modello, uno scompartimento può contenere più persone ma c'è il vincolo di $1$).

Mah, forse sono io che non capisco il testo del problema o la probabilità discreta ("o" inclusivo).

Forse mi sbaglio pure io e siamo punto e a capo