Esercizio Probabilità

[pikkola91]

Ciao a tutti!!! Avrei bisogno di un aiuto per questo esercizio:
Consideriamo l'insieme $omega = {1,2,......,19} $ dotato della probabilità uniforme. Determinare $A,B in omega$
tali che $P(A) = 0,2$ e $P(B) = 0,6$. Calcolare successivamente $P(A uu B)$.
A e B così scelti sono indipendenti?

per determinare A e B potrei considerare il fatto che

$omega$ = spazio campionario

$P(A)=|A|/|omega|$ (casi favorevoli/ casi possibili)

e visto che so che $|omega| = 19$ pongo $|A|/19 = 0,2$ e mi trovo A.. e stessa cosa per B è giusto? e per fare l'unione considero che

$P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)$

$P(A)$ e $P(B)$ li dovrei gia avere ma come faccio a calcolarne l'intersezione?se fossero indipendenti li potrei moltiplicare ma come faccio a sapere se sono indipendenti?

[cenzo1]

"SaraBi":e visto che so che $|omega| = 19$ pongo $|A|/19 = 0,2$ e mi trovo A.. e stessa cosa per B è giusto?

Ciao Sara,
riflettevo: in questo modo si ottiene $|A|=3.8$, quindi chi sarebbe l'evento A ?

[pikkola91]

in quel modo troverei i casi favorevoli di A e non A? mi sa che non ho capito

[cenzo1]

Intendevo dire: hai ottenuto una cardinalità di A uguale a 3,8. Giusto ?
Ma così è un numero non intero. Quale insieme $A in omega$ ha questa cardinalità ?

O forse non ho capito la domanda?

[pikkola91]

ok ho capito il fatto che trovo la cardinalità di A.. però non riesco a capire quale insieme A ha questa cardinalità

[pikkola91]

mi sono accorta di aver sbagliato! $|omega| = 20$ e quindi $|A| = 4$ quindi $A = 4$ ???

[cenzo1]

"SaraBi":mi sono accorta di aver sbagliato! $|omega| = 20$ e quindi $|A| = 4$ quindi $A = 4$ ???

Ok, immagino che fosse $omega={0,1,...,19}$

Rifletti, se $A={4}$, quanto sarebbe la sua cardinalità ?

Mi sembra che il problema ti lasci libera di scegliere $Ain omega$ purchè $|A|=4$, senza altre restrizioni.

[pikkola91]

si esatto mi ero dimenticata di scrivere lo 0

comunque se $A = {4}$ allora l'insieme $A$ è composto da un elemento quindi 1 !

[cenzo1]

"SaraBi":comunque se $A = {4}$ allora l'insieme $A$ è composto da un elemento quindi 1 !

Esatto, quindi devi scegliere $Ainomega$ che contenga 4 elementi, che ne so $A={0,1,2,3}$ oppure $A={2,3,5,7}$.. hai parecchie scelte (esattamente $4845$ possibili scelte)

P.S. domanda jolly, da rispondere alla fine:
esiste una scelta di A e B tale che siano indipendenti ?

[pikkola91]

Ok Quindi $|B| = 12$

Beh si una scelta esiste se prendo ad esempio A = {0,1,2,3} B = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
dovrebbero essere indipendenti.. Giusto?!?

[cenzo1]

"SaraBi":A = {0,1,2,3} B = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} dovrebbero essere indipendenti.. Giusto?!?

Direi che sono incompatibili, quindi sicuramente dipendenti.

[pikkola91]

ok.. quindi due eventi sono incompatibili quando sono disgiunti?grazie..!!

[cenzo1]

"SaraBi":ok.. quindi due eventi sono incompatibili quando sono disgiunti?grazie..!!

Si, incompatibili e disgiunti in pratica sono sinonimi.

Quanto al fatto che A e B sono dipendenti lo puoi verificare in diversi modi, ad esempio mostrando che $P(A|B)!=P(A)$

Nel tuo esempio di A e B disgiunti hai $P(A)=0.2$ e $P(A|B)=...$ ?

[pikkola91]

$ P(A|B) = (P(A nn B)) / (P(B)) = 0$ (nel mio caso)

mentre $P(A) = 0.2$

quindi $ P(A|B) != P(A)$ e $A$ e $B$ sono dipendenti

Giusto??

[cenzo1]

"SaraBi":Giusto??

Esatto.

Allora, se ti va di pensarci, rilancio la domanda: esistono scelte di A e B tali che siano indipendenti ?