Esercizio probabilità
Ciao,
non riesco a risolvere questo problema:
In una scatola di costruzioni per bambini ci sono 25 pezzi di cui 4 rossi, 6 gialli, 8 vrdi e 7 blu.
Nel caso in cui un bambino estragga dalla scatola 4 pezzi contemooraneamente , si calcoli la probabilità:
a) 2 pezzi siano blu
b) al massimo 2 pezzi siano gialli
c) i pezzi siano tutti dello stesso colore
Io ho provato a farlo ma i risultati sono diversi da quelli riportati dal libro.
Vorrei almeno sapere se la cardinalità di $\Omega$ sia giusta: $( (25),(4))$
non riesco a risolvere questo problema:
In una scatola di costruzioni per bambini ci sono 25 pezzi di cui 4 rossi, 6 gialli, 8 vrdi e 7 blu.
Nel caso in cui un bambino estragga dalla scatola 4 pezzi contemooraneamente , si calcoli la probabilità:
a) 2 pezzi siano blu
b) al massimo 2 pezzi siano gialli
c) i pezzi siano tutti dello stesso colore
Io ho provato a farlo ma i risultati sono diversi da quelli riportati dal libro.
Vorrei almeno sapere se la cardinalità di $\Omega$ sia giusta: $( (25),(4))$
Risposte
Su quale delle 3 domande hai avuto difficoltà ?
In che modo lo hai risolto ?
In che modo lo hai risolto ?
A dire la verità mi sono fermata alla prima domanda.. è che non so mai come approccarmi al problema perchè ho difficoltà a capire( come i questo caso) se utilizzare le combinazioni o disposizioni.. mi verrebbe da dire combinazioni visto che l'ordine non è importante..
Conosci la formula dell'ipergeometrica? In alternativa puoi pensare ad una estrazione senza reinserimento e ragionare sul rapporto $\frac{"casi favorevoli"}{"casi possibili"}$.
a dire la verità no..ancora abbiamo nozioni base della probabilità..
Prova a ragionare così:
supponi che ti interessi la probabilità di pescare 2 pezzi blu (il ragionamento vale anche se ti interessano altri colori).
Estrai senza reinserire i pezzi pescati. Sei interessata a tutte le sequenze ${1,1,0,0}, {0,1,1,0}$ ecc. (dove $1$ significa pezzo blu e $0$ pezzo di altro colore. Prendi per esempio la sequenza ${1,1,0,0}$ dove la probabilità di pescare un pezzo blu alla prima estrazione (il primo $1$ della sequenza di esempio) è $7/25$. Una volta estratto il primo pezzo, la probabilità di pescare un altro pezzo blu (il secondo $1$ della sequenza di esempio) è $6/24$. Successivamente la probabilità di pescare un pezzo di altro colore (il primo $0$ della sequenza di esempio) è $18/23$ e la probabilità di pescare un altro pezzo di altro colore (il secondo $0$ della sequenza di esempio) è $17/22$. Ora, siccome le estrazioni sono indipendenti, per ottenere la probabilità della sequenza di esempio, moltiplichi le probabilità delle 4 estrazioni e ottieni:
$P=\frac{7*6*18*17}{25*24*23*22}=0.042$
Puoi verificare facilmente che tutte le sequenze di quattro estrazioni con 2 pezzi blu e 2 pezzi di altro colore hanno la stessa probabilità di verificarsi (prova a fare qualche calcolo). Quindi per calcolarti la probabilità richiesta devi ancora moltiplicare per tutte le possibili sequenze, che sono in totale $((4),(2))$ e ottieni:
$P=0.042*((4),(2))=0.254$
Puoi generalizzare il ragionamento cambiando i dati del problema.
In generale se hai $N$ pezzi di cui $s$ con la caratteristica che ti interessa studiare ed $r$ pezzi diversi, la probabilità richiesta (ovvero la probabilità di estrarre in $n$ estrazioni senza reinserimento $x$ pezzi aventi tale caratteristica) è:
$P=\frac{r(r-1)(r-2)...(r-x+1)s(s-1)(s-2)...(s-n+x+1)}{N(N-1)(N-2)...(N-n+1)}((n),(x))$
supponi che ti interessi la probabilità di pescare 2 pezzi blu (il ragionamento vale anche se ti interessano altri colori).
Estrai senza reinserire i pezzi pescati. Sei interessata a tutte le sequenze ${1,1,0,0}, {0,1,1,0}$ ecc. (dove $1$ significa pezzo blu e $0$ pezzo di altro colore. Prendi per esempio la sequenza ${1,1,0,0}$ dove la probabilità di pescare un pezzo blu alla prima estrazione (il primo $1$ della sequenza di esempio) è $7/25$. Una volta estratto il primo pezzo, la probabilità di pescare un altro pezzo blu (il secondo $1$ della sequenza di esempio) è $6/24$. Successivamente la probabilità di pescare un pezzo di altro colore (il primo $0$ della sequenza di esempio) è $18/23$ e la probabilità di pescare un altro pezzo di altro colore (il secondo $0$ della sequenza di esempio) è $17/22$. Ora, siccome le estrazioni sono indipendenti, per ottenere la probabilità della sequenza di esempio, moltiplichi le probabilità delle 4 estrazioni e ottieni:
$P=\frac{7*6*18*17}{25*24*23*22}=0.042$
Puoi verificare facilmente che tutte le sequenze di quattro estrazioni con 2 pezzi blu e 2 pezzi di altro colore hanno la stessa probabilità di verificarsi (prova a fare qualche calcolo). Quindi per calcolarti la probabilità richiesta devi ancora moltiplicare per tutte le possibili sequenze, che sono in totale $((4),(2))$ e ottieni:
$P=0.042*((4),(2))=0.254$
Puoi generalizzare il ragionamento cambiando i dati del problema.
In generale se hai $N$ pezzi di cui $s$ con la caratteristica che ti interessa studiare ed $r$ pezzi diversi, la probabilità richiesta (ovvero la probabilità di estrarre in $n$ estrazioni senza reinserimento $x$ pezzi aventi tale caratteristica) è:
$P=\frac{r(r-1)(r-2)...(r-x+1)s(s-1)(s-2)...(s-n+x+1)}{N(N-1)(N-2)...(N-n+1)}((n),(x))$
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