Esercizio probabilità
Una malattia infettiva contagia una persona su mille. Un test medico ha prob. di esito positivo dello 0.99 in caso di individuo malato, e ha esito negativo dello 0.98 in caso di un individuo malato. Se a fronte di un test ottengo esito positivo, qual è la prob. che io sia malato? Su uno screening rivolto a 500 mila abitanti, quanti me ne aspetto che risultino positivi?
Allora, ho posto $ A= "individuo malato" $, $ B="esito positivo" $ e quindi le prob. diventano $ P(A)=0.001, P(B|A)= 0.99 $, $ P(\overline{B}|\overline{A})=0.98 $.
Per il primo punto applico la formula di Bayes:
$P(A|B)=[P(A)*P(B|A)]/[P(B)] $, dove però devo andare a calcolare P(B), ovvero la prob. che il test dia esito positivo. Per fare ciò ho ipotizzato una popolazione di 100 mila abitanti dove i malati saranno 100 ma di questi solo 99 avranno esito positivo al test mentre per gli altri 99900 individui sani, in 1998 si vedranno diagnosticato l'esito positivo (99900*0.02). In totale si avranno quindi 2097 esiti positivi che, dividendo per il numero di abitanti, saranno ovviamente il 2.1% (approssimato) della popolazione. Sostituendo questo valore nella formula mi viene il valore $ P(A|B)=0,0471 $, che mi sembra basso (?). Corretto?
Allora, ho posto $ A= "individuo malato" $, $ B="esito positivo" $ e quindi le prob. diventano $ P(A)=0.001, P(B|A)= 0.99 $, $ P(\overline{B}|\overline{A})=0.98 $.
Per il primo punto applico la formula di Bayes:
$P(A|B)=[P(A)*P(B|A)]/[P(B)] $, dove però devo andare a calcolare P(B), ovvero la prob. che il test dia esito positivo. Per fare ciò ho ipotizzato una popolazione di 100 mila abitanti dove i malati saranno 100 ma di questi solo 99 avranno esito positivo al test mentre per gli altri 99900 individui sani, in 1998 si vedranno diagnosticato l'esito positivo (99900*0.02). In totale si avranno quindi 2097 esiti positivi che, dividendo per il numero di abitanti, saranno ovviamente il 2.1% (approssimato) della popolazione. Sostituendo questo valore nella formula mi viene il valore $ P(A|B)=0,0471 $, che mi sembra basso (?). Corretto?
Risposte
Poi vabbè, la seconda domanda rispondo facendo $ P(B)*500000 $...
Hai scritto il testo in maniera non proprio esatta:
"e ha esito negativo dello 0.98 in caso di un individuo malato"
Ritengo che qui andasse scritto "sano".
Il resto ritengo sia corretto.
La probabilità che io sia malato è $99/2097=0,04721$
Su 500.000 mi aspetto di trovarne $(2.097*500.000)/100.000=10.485$ positivi.
"e ha esito negativo dello 0.98 in caso di un individuo malato"
Ritengo che qui andasse scritto "sano".
Il resto ritengo sia corretto.
La probabilità che io sia malato è $99/2097=0,04721$
Su 500.000 mi aspetto di trovarne $(2.097*500.000)/100.000=10.485$ positivi.
sisi hai ragione 
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