Esercizio probabilità

[Mandolino1]

In una saldatura, possono presentarsi inclusioni e cricche con probabilità rispettivamente del 5% e del 20% ma la prob. che se la prima è presente allora anche la seconda lo sia è del 50%. Se è presente solo l'inclusione, la prob. di dover rifare la saldatura è del 60% mentre se è presente solo la cricca, la prob. scende al 40%. Se sono presenti entrambi i difetti, la prob. di rifare la saldatura è del 90%, mentre se non lo sono, la prob. è del 10%. Qual è la prob di dover rifare la saldatura?
Allora, Pongo $ A= "presenza inclusione" , B= "presenza cricca", C= "saldatura da rifare" $ e quindi le prob. diventano $ P(A)=0.05 $, $ P(B)=0.2 $, $P(B|A)=0.5$, $P(C|A)=0.6$, $P(C|B)=0.4$, $P(C|A \cap B)=0.9$ e P(C|A $ \cap $ B)=0.1 (il sottolineato indica la negazione dell'evento).
Dopo vari ragionamenti ho trovato che $ P(C)= P(B)*P(C|B) + P(A)*(1-P(B|A))*P(C|A)$ $ + P(A)*P(B|A)*P(C|A \cap B) +P(B)*P(A)*P(C|A \cap B) $ +P(A)*P(B)*P(C|A $ \cap $ B).
Il primo termine rappresenta la prob. dover rifare la saldatura se presente solo la cricca, il secondo se è presente solo inclusione, il terzo se l'inclusione ha causato la presenza della cricca, il quarto se sono presenti entrambi i difetti e il quinto se non sono presenti. Facendo i calcoli è venuto che $ P(C)=0.2025 $. Giusto?

[Lo_zio_Tom]

no, sbagliato.

L'esercizio è semplice ma non semplicissimo...il testo dice "la probabilità che si presenti una cricca è del 20%"

La frase non dice "la probabilità che si presenti solo la cricca è del 20%" Quindi, disegnando il diagramma di Venn




vedi bene che il fatto che si presenti una Cricca (Inclusione) non preclude il presentarsi dell'Inclusione (Cricca).

Quindi, avendo anche il dato condizionato $P(C r i c c a | I n c l u s i o n e)$ è facile vedere che la distribuzione di probabilità dei difetti è la seguente:


$D-={{: (S o l o I n c l u s i o n e , 2.5% ),( S o l o C r i c c a , 17.5% ),( E n t r a m b i , 2.5% ),( N e s s u n o , 77.5% ) :}$

da cui immediatamente trovi la probabilità cercata

$0.025*0.6+0.175*0.4+0.025*0.9+0.775*0.1=38.75%$

EDIT: evidentemente il risultato della formula precedente è 18.5% (grazie @Superpippone)

[superpippone]

Tommik: concordo pienamente con te.
Tranne per la somma finale.....

Il risultato esatto è: $18,5%$