Esercizio Probabilità
Ecco un esercizio abbastanza stupido, che però non riesco a risolvere (che stanchezza... 
), vi sarei grato per qualsiasi suggerimento...
Testo
Ad ogni tiro, un arciere colpisce il bersaglio con una probabilità $p=0.7$. Qual è il numero minimo di tiri che deve effettuare per colpire il bersaglio almeno due volte, con una probabilità uguale o superiore al $95%$ ?
Svolgimento
Quello che mi è venuto in mente è che una situazione di questo tipo è governata dalla Distribuzione Binomiale, in cui la probabilità di ottenere $2$ successi in $n$ prove è $0.95$ per cui la cosa più intelligente che mi viene in mente di fare è calcolare $n$ tramite la relazione
$P(2,n)= n!/(2(n-2)!) 0.7^2 0.3^(n-2) = (n(n-1))/2 0.7^2 0.3^(n-2) = 0.95$
ma suppongo che ci sia un modo molto più semplice e immediato che risolvere quest'equazione, solo che mi sono bloccato e non riesco a vederlo...
), vi sarei grato per qualsiasi suggerimento...Testo
Ad ogni tiro, un arciere colpisce il bersaglio con una probabilità $p=0.7$. Qual è il numero minimo di tiri che deve effettuare per colpire il bersaglio almeno due volte, con una probabilità uguale o superiore al $95%$ ?
Svolgimento
Quello che mi è venuto in mente è che una situazione di questo tipo è governata dalla Distribuzione Binomiale, in cui la probabilità di ottenere $2$ successi in $n$ prove è $0.95$ per cui la cosa più intelligente che mi viene in mente di fare è calcolare $n$ tramite la relazione
$P(2,n)= n!/(2(n-2)!) 0.7^2 0.3^(n-2) = (n(n-1))/2 0.7^2 0.3^(n-2) = 0.95$
ma suppongo che ci sia un modo molto più semplice e immediato che risolvere quest'equazione, solo che mi sono bloccato e non riesco a vederlo...
Risposte
userei il teorema del limite centrale $(SigmaX-nmu)/(sigmasqrt(n))~N(0;1)$
approssimando la binomiale con una Gaussiana
Imposterei il problema così:
$P(SigmaX>=2)>=0.95$
$P{Z>=(1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))}>=0.95$
ovvero
$(1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))<=-1.645$
e risolvendo l'equazione di secondo grado in n. Così facendo esce $n>=5$
Dato che approssimiamo la distribuzione discreta con una continua è necessario utilizzare una correzione per continuità e quindi è necessario ampliare l'intervallo da $[2;+oo)$ a $[1,5;+oo)$
Anche se n è un po' bassino per approssimare la binomiale il risultato è corretto.
Lo puoi verificare utlizzando la binomiale per tentativi.....
$n=4 rarr 1-0.3^4-4\cdot0.7\cdot0.3^3~=0.92$
$n=5 rarr 1-0.3^5-5\cdot0.7\cdot0.3^4~=0.97$
Ora hai due metodi risolutivi differenti...il primo è più interessante per applicazioni future....il secondo è più ruspante..
L'errore nella tua formula che che non consideri che il testo dice "almeno due volte"; ciò significa 2 o più volte.....quindi per calcolarlo con la binomiale devi fare il complemento di "zero oppure una volta". In pratica
$1-p(0)-p(1)$
approssimando la binomiale con una Gaussiana
Imposterei il problema così:
$P(SigmaX>=2)>=0.95$
$P{Z>=(1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))}>=0.95$
ovvero
$(1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))<=-1.645$
e risolvendo l'equazione di secondo grado in n. Così facendo esce $n>=5$
Dato che approssimiamo la distribuzione discreta con una continua è necessario utilizzare una correzione per continuità e quindi è necessario ampliare l'intervallo da $[2;+oo)$ a $[1,5;+oo)$
Anche se n è un po' bassino per approssimare la binomiale il risultato è corretto.
Lo puoi verificare utlizzando la binomiale per tentativi.....
$n=4 rarr 1-0.3^4-4\cdot0.7\cdot0.3^3~=0.92$
$n=5 rarr 1-0.3^5-5\cdot0.7\cdot0.3^4~=0.97$
Ora hai due metodi risolutivi differenti...il primo è più interessante per applicazioni future....il secondo è più ruspante..
L'errore nella tua formula che che non consideri che il testo dice "almeno due volte"; ciò significa 2 o più volte.....quindi per calcolarlo con la binomiale devi fare il complemento di "zero oppure una volta". In pratica
$1-p(0)-p(1)$
Grazie per la risposta. Avevo pensato all'approssimazione gaussiana della binomiale, ma immaginando che sarebbe venuto un $n$ abbastanza basso ho desistito.
Purtroppo i metodi che utilizzo sono abbastanza rozzi, non avendo mai studiato per bene la Teoria della Probabilità...
Il mio testo di riferimento per tutto ciò che so di probabilità e statistica è "Taylor - Introduzione all'analisi degli errori", un libro scritto da un fisico per i fisici, che, pur essendo ben scritto e abbastanza rigoroso, pecca molto nella parte di teoria sugli strumenti matematici che usa. Il teorema del limite centrale non viene mai nominato, tutto ciò che dice è che data una distribuzione binomiale $B_(n,p) (k)$ per $n rarr0+ infty$ essa è approssimabile come una gaussiana $G_(mu, sigma) (x)$ con $mu = np$ e $sigma = sqrt(np(1-p))$.
Per cui mi è chiaro che, in questo caso, la probabilità che l'arciere colpisca il bersaglio almeno due volte è uguale all'integrale della gaussiana da $1,5$ (per la correzione per continuità) a $+ infty$, ma non mi è chiaro il procedimento che hai usato per trovare $n$.
Purtroppo i metodi che utilizzo sono abbastanza rozzi, non avendo mai studiato per bene la Teoria della Probabilità...
Il mio testo di riferimento per tutto ciò che so di probabilità e statistica è "Taylor - Introduzione all'analisi degli errori", un libro scritto da un fisico per i fisici, che, pur essendo ben scritto e abbastanza rigoroso, pecca molto nella parte di teoria sugli strumenti matematici che usa. Il teorema del limite centrale non viene mai nominato, tutto ciò che dice è che data una distribuzione binomiale $B_(n,p) (k)$ per $n rarr0+ infty$ essa è approssimabile come una gaussiana $G_(mu, sigma) (x)$ con $mu = np$ e $sigma = sqrt(np(1-p))$.
Per cui mi è chiaro che, in questo caso, la probabilità che l'arciere colpisca il bersaglio almeno due volte è uguale all'integrale della gaussiana da $1,5$ (per la correzione per continuità) a $+ infty$, ma non mi è chiaro il procedimento che hai usato per trovare $n$.
per trovare n? è un'equazione di secondo grado....poni $sqrt(n)=t$ e nulla più....
il teorema del limite centrale è la stessa cosa che hai detto tu...in parole diverse (e la formula te l'ho anche scritta alla prima riga) ma puoi risolvere anche con la binomiale, per tentativi
Ovviamente $n>=2$
e per ogni n calcoli
$1-((n),(0))0.7^0\cdot0.3^n-((n),(1))0.7^1\cdot0.3^(n-1)$
Così facendo vedi subito che $n=5$
essendo
$n=2 rarr p=0.49$
$n=3 rarr p=0.784$
$n=4 rarr p=0.916$
$n=5 rarr p=0.969$
$n=6 rarr p=0.989$
**************
Per quanto riguarda il TLC io l'ho scritto così
$(SigmaX-nmu)/(sigmasqrt(n))~N(0;1)$
dove $mu=p$ mentre $sigma^2=pq$
....è la stessa cosa che dice il tuo libro ma dividendo numeratore e denominatore per $n$
il teorema del limite centrale è la stessa cosa che hai detto tu...in parole diverse (e la formula te l'ho anche scritta alla prima riga) ma puoi risolvere anche con la binomiale, per tentativi
Ovviamente $n>=2$
e per ogni n calcoli
$1-((n),(0))0.7^0\cdot0.3^n-((n),(1))0.7^1\cdot0.3^(n-1)$
Così facendo vedi subito che $n=5$
essendo
$n=2 rarr p=0.49$
$n=3 rarr p=0.784$
$n=4 rarr p=0.916$
$n=5 rarr p=0.969$
$n=6 rarr p=0.989$
**************
Per quanto riguarda il TLC io l'ho scritto così
$(SigmaX-nmu)/(sigmasqrt(n))~N(0;1)$
dove $mu=p$ mentre $sigma^2=pq$
....è la stessa cosa che dice il tuo libro ma dividendo numeratore e denominatore per $n$
"tommik":
per trovare n? è un'equazione di secondo grado....poni $sqrt(n)=t$ e nulla più....
Intendevo nell'impostazione del problema
Comunque, il procedimento per tentativi l'ho capito, e in questo caso mi sembra anche abbastanza efficace. Per quanto riguarda il teorema del limite centrale non ho capito bene cosa identificano i termini nella formula che hai scritto:
"tommik":
userei il teorema del limite centrale $ (SigmaX-nmu)/(sigmasqrt(n))~N(0;1) $
e di conseguenza non ho capito i passaggi successivi:
"tommik":
$ P(X>=2)>=0.95 $
$ P{Z>=(1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))}>=0.95 $
ovvero
$ (1.5-0.7n)/(sqrt(n)sqrt(0.21))<=-1.645 $
supponiamo di avere una variabile X di media $mu$ e varianza $sigma^2
nel nostro caso la variabile è questa, di media 0.7 e varianza $0.7\cdot0.3=0.21$
$X-={{: ( 0 , 1 ),( 0.3 , 0.7 ) :}$
il Teorema del Limite Centrale (TLC) in una delle sue molteplici formulazioni, afferma che, per $n$ sufficientemente grande[nota]per una binomiale n sufficientemente grande significa $np>=5$; noi abbiamo $np=3.5$, siamo un po' al limite ma per quanto ci serve basta[/nota] la seguente quantità
$(sum_(i=1)^(n)X_(i)-nmu)/(sigmasqrt(n))$
si distribuisce come una normale standard, ovvero una normale di media zero e varianza uno.
Noi siamo interessati alla probabilità che la somma degli eventi (la somma dei successi ) sia maggiore o uguale a 2. Lasciamo un attimo perdere la correzione per continuità ed applichiamo la formula
$P(SigmaX>=2)=P{Z>=(2-n0.7)/sqrt(0.21n)}>=0.95$
Sappiamo anche che (dalle tavole) il valore $P(Z>=z)=0.95$ è $-1.645$
e quindi abbiamo finito.....la probabilità richiesta sarà $>0.95$ se il quantile (l'ascissa della normale std) è minore di -1.645 (basta guardare il grafico della normale per rendersene conto)
spero che ora sia più chiaro....
$(2-n0.7)/sqrt(0.21n)<=-1.645$
da risolvere in n. Nell'esercizio ho usato il fattore di continuità e quindi sostituito 2 con 1.5
nel nostro caso la variabile è questa, di media 0.7 e varianza $0.7\cdot0.3=0.21$
$X-={{: ( 0 , 1 ),( 0.3 , 0.7 ) :}$
il Teorema del Limite Centrale (TLC) in una delle sue molteplici formulazioni, afferma che, per $n$ sufficientemente grande[nota]per una binomiale n sufficientemente grande significa $np>=5$; noi abbiamo $np=3.5$, siamo un po' al limite ma per quanto ci serve basta[/nota] la seguente quantità
$(sum_(i=1)^(n)X_(i)-nmu)/(sigmasqrt(n))$
si distribuisce come una normale standard, ovvero una normale di media zero e varianza uno.
Noi siamo interessati alla probabilità che la somma degli eventi (la somma dei successi ) sia maggiore o uguale a 2. Lasciamo un attimo perdere la correzione per continuità ed applichiamo la formula
$P(SigmaX>=2)=P{Z>=(2-n0.7)/sqrt(0.21n)}>=0.95$
Sappiamo anche che (dalle tavole) il valore $P(Z>=z)=0.95$ è $-1.645$
e quindi abbiamo finito.....la probabilità richiesta sarà $>0.95$ se il quantile (l'ascissa della normale std) è minore di -1.645 (basta guardare il grafico della normale per rendersene conto)
spero che ora sia più chiaro....
$(2-n0.7)/sqrt(0.21n)<=-1.645$
da risolvere in n. Nell'esercizio ho usato il fattore di continuità e quindi sostituito 2 con 1.5
Ho capito il concetto, ma continuo a non capire questo passaggio:
cosa sono $Z$ e $z$?
"tommik":
$P(X>=2)=P{Z>=(2-n0.7)/sqrt(0.21n)}>=0.95$
Sappiamo anche che (dalle tavole) il valore $P(Z>=z)=0.95$ è $-1.645$
cosa sono $Z$ e $z$?
Z è la distribuzione normale standard e z è il valore che la variabile assume.
Ho anche fatto un errore formale... avrei dovuto scrivere così:
$P(SigmaX>=2)=P{Z>=(2-n0.7)/sqrt(0.21n)}>=0.95$
ci sono un sacco di esempi sul forum su questo argomento....devi prenderci un po' la mano....
Ho anche fatto un errore formale... avrei dovuto scrivere così:
$P(SigmaX>=2)=P{Z>=(2-n0.7)/sqrt(0.21n)}>=0.95$
ci sono un sacco di esempi sul forum su questo argomento....devi prenderci un po' la mano....
Lo farò, grazie ancora per la disponibilità 
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