Esercizio probabilita'
Salve a tutti, volevo un info su un esercizio (un esempio uguale e' già presente in altro topic)
Tra i partecipanti ad un concorso per giovani musicisti, il 50% suona il piano, il 30% il violino ed il 20% il violoncello. Inoltre partecipano per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti ed il 10% dei violoncellisti.
1) Scelto a caso uno tra i partecipanti, qual è la probabilità che sia il suo primo concorso?
2) Sapendo che il partecipante è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
3) Sapendo che il partecipante non è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
4) Si stabilisca se sono incompatibili gli eventi "suonare il piano" e "partecipare per la prima volta al concorso" motivando la risposta
5) Si stabilisca se sono indipendenti gli eventi "suonare il violino" e "partecipare per la prima volta al concorso" motivando la risposta
Indico con
$A="pianista"$
$B="violinista"$
$C="violoncellista"$
$D="prima volta"$
PRIMO PUNTO
$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)$
SECONDO E TERZO PUNTO
Sfruttando la tabella suggerita da un utente del forum che è riportata sotto
trovo che:
$P(E)=P("violinista"|"primo concorso")=0.02/0.17$
$P(F)=P("violinista"|"no primo concorso")=0.18/0.83$
QUARTO PUNTO
Due eventi si dicono incompatibili (mutuamente esclusivi) se la loro intersezione è nulla
Nel nostro caso, per essere i due eventi "suonare il piano" e "partecipare per la prima volta", rappresentati rispettivamente dall'evento A e dall'evento D, dovrebbe risultare:
$P("pianista" nn "primo concorso")-=P(A nn D)=P(A)P(D|A)=0.05*0.50$
QUINTO PUNTO
Due eventi sono indipendenti se la loro intersezione si fattorizza nel prodotto delle due singole probabilità
Nel nostro caso quindi dovrebbe risultare che $P(B nn D)$ dovrebbe essere uguale a $P(B)P(D)$ : verifichiamo, allora, se è vero.
$P(B)P(D)=0.3*0.059$
$P(B nn D)=P(B)P(D|B)=0.3*0.10=0.03$
Dunque
$P(B nn D)!=P(B)P(D)$
e di conseguenza gli eventi non sono indipendenti.
IL MIO DUBBIO E' IL SEGUENTE: QUANDO NELLA TRACCIA DICE:
[...] Inoltre partecipano per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti ed il 10% dei violoncellisti.[...]
Intende che il 10% dei pianisti, e quindi il 10% del 50% totale di pianisti (come l'ho intuito io in tabella) oppure il 10% del totale (e quindi in tabella bisogna inserire 0.10)?
Tra i partecipanti ad un concorso per giovani musicisti, il 50% suona il piano, il 30% il violino ed il 20% il violoncello. Inoltre partecipano per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti ed il 10% dei violoncellisti.
1) Scelto a caso uno tra i partecipanti, qual è la probabilità che sia il suo primo concorso?
2) Sapendo che il partecipante è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
3) Sapendo che il partecipante non è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
4) Si stabilisca se sono incompatibili gli eventi "suonare il piano" e "partecipare per la prima volta al concorso" motivando la risposta
5) Si stabilisca se sono indipendenti gli eventi "suonare il violino" e "partecipare per la prima volta al concorso" motivando la risposta
Indico con
$A="pianista"$
$B="violinista"$
$C="violoncellista"$
$D="prima volta"$
PRIMO PUNTO
$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)$
SECONDO E TERZO PUNTO
Sfruttando la tabella suggerita da un utente del forum che è riportata sotto
trovo che:
$P(E)=P("violinista"|"primo concorso")=0.02/0.17$
$P(F)=P("violinista"|"no primo concorso")=0.18/0.83$
QUARTO PUNTO
Due eventi si dicono incompatibili (mutuamente esclusivi) se la loro intersezione è nulla
Nel nostro caso, per essere i due eventi "suonare il piano" e "partecipare per la prima volta", rappresentati rispettivamente dall'evento A e dall'evento D, dovrebbe risultare:
$P("pianista" nn "primo concorso")-=P(A nn D)=P(A)P(D|A)=0.05*0.50$
QUINTO PUNTO
Due eventi sono indipendenti se la loro intersezione si fattorizza nel prodotto delle due singole probabilità
Nel nostro caso quindi dovrebbe risultare che $P(B nn D)$ dovrebbe essere uguale a $P(B)P(D)$ : verifichiamo, allora, se è vero.
$P(B)P(D)=0.3*0.059$
$P(B nn D)=P(B)P(D|B)=0.3*0.10=0.03$
Dunque
$P(B nn D)!=P(B)P(D)$
e di conseguenza gli eventi non sono indipendenti.
IL MIO DUBBIO E' IL SEGUENTE: QUANDO NELLA TRACCIA DICE:
[...] Inoltre partecipano per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti ed il 10% dei violoncellisti.[...]
Intende che il 10% dei pianisti, e quindi il 10% del 50% totale di pianisti (come l'ho intuito io in tabella) oppure il 10% del totale (e quindi in tabella bisogna inserire 0.10)?
Risposte
beh....finalmente i miei consigli sono stati apprezzati...con questa metodologia non sbaglierai mai questi esercizi....
1) basta leggere il dato nella colonna di destra: $P(P r i m a V o l t a)=0,17$
4) avendo scritto tutta la distribuzione puoi anche non rispondere...sarebbero incompatibili se la casellina corrispondente fosse vuota....
hai sbagliato il primo punto...$P(D)=0.17$
ed anche il quinto...basta leggere la tabella
$P(D)P(V)=0.30\cdot0.17=0.05$
$P(D nn V)=0.10$..lo leggi in tabella -> eventi non indipendenti
1) basta leggere il dato nella colonna di destra: $P(P r i m a V o l t a)=0,17$
4) avendo scritto tutta la distribuzione puoi anche non rispondere...sarebbero incompatibili se la casellina corrispondente fosse vuota....
hai sbagliato il primo punto...$P(D)=0.17$
ed anche il quinto...basta leggere la tabella
$P(D)P(V)=0.30\cdot0.17=0.05$
$P(D nn V)=0.10$..lo leggi in tabella -> eventi non indipendenti
Quindi i dati del problema sono stati interpretati bene (il dubbio espresso alla fine della traccia)?
Perchè vedendo l'esercizio svolto (al di là del fatto che non viene fatto con questa tabella ma applicando le leggi della probabilità) porta, ad esempio, che la probabilità che il pianista è al primo concorso non è 0.05 come nella tabella allegata da me, ma porta 0.10 (così come la probabilità che il violinista sia al primo concorso porta che è 0.33)
E' sbagliato lì oppure ho sbagliato io??
Perchè vedendo l'esercizio svolto (al di là del fatto che non viene fatto con questa tabella ma applicando le leggi della probabilità) porta, ad esempio, che la probabilità che il pianista è al primo concorso non è 0.05 come nella tabella allegata da me, ma porta 0.10 (così come la probabilità che il violinista sia al primo concorso porta che è 0.33)
E' sbagliato lì oppure ho sbagliato io??
l'esercizio si può svolgere tranqullamente in altri modi...io preferisco così ma è solo una mia opinione....se hai una sola domanda è meglio usare le espressioni analitiche della probabilità...se ne hai 5 è meglio fare la tabella, dato che una volta fatta rispondi a tutte le domande senza problemi
Beh dipende svolto da chi...comunque questa è un'autentica fesseria.....e chi l'ha svolto così farebbe bene a vergognarsi...pensa se il testo fosse: il 50% dei pianisti è alla prima volta, così come i violinisti e i violoncellisti....gli verrebbe $P(D)=1.5$ AHAHAHAHHH.....
Il 10% invece è questa: $P(P r i m a V o l t a | P i a n i s t a)=(0.05)/(0.5)=0.1$ (che poi è anche il dato della traccia)
Sì, la tua 'interpretazione è corretta. inoltre, una volta che la tabella ti quadra sei sicuro di aver svolto per bene l'esercizio. Ripeto questa "tabella" come la definiamo è qualche cosa di più...è proprio la definizione analitica del vettore aleatorio discreto....
saluti
"pasquale2016":
Perchè vedendo l'esercizio svolto porta che la probabilità che il pianista è al primo concorso non è 0.05 come nella tabella allegata da me, ma porta 0.10
Beh dipende svolto da chi...comunque questa è un'autentica fesseria.....e chi l'ha svolto così farebbe bene a vergognarsi...pensa se il testo fosse: il 50% dei pianisti è alla prima volta, così come i violinisti e i violoncellisti....gli verrebbe $P(D)=1.5$ AHAHAHAHHH.....
In un concorso il 50% dei partecipanti suona il piano; quindi ad esempio su 100 musicisti abbiamo 50 pianisti.
Fra i pianisti, il 10% è un novellino: quanti pianisti novellini abbiamo? Pofferbacco 5 su 100 musicisti.....mica ci vuole una laurea....
Il 10% invece è questa: $P(P r i m a V o l t a | P i a n i s t a)=(0.05)/(0.5)=0.1$ (che poi è anche il dato della traccia)
Sì, la tua 'interpretazione è corretta. inoltre, una volta che la tabella ti quadra sei sicuro di aver svolto per bene l'esercizio. Ripeto questa "tabella" come la definiamo è qualche cosa di più...è proprio la definizione analitica del vettore aleatorio discreto....
saluti
"tommik":
se hai una sola domanda è meglio usare le espressioni analitiche della probabilità...se ne hai 5 è meglio fare la tabella, dato che una volta fatta rispondi a tutte le domande senza problemi
Concordo pienamente
Grazie!! 
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